Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67070 / 67070
↖ ↑ ↗
← S  4.209465°
E  4.213257°		 ← 304.60 m → S  4.209465°
E  4.216003°		 →
↑
304.60 m
↓
↑
304.60 m
↓
S  4.212204°
E  4.213257°		 ← 304.60 m →
92 781 m²		 S  4.212204°
E  4.216003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511707305908203 y=0.511707305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511707305908203 × 217)
    floor (0.511707305908203 × 131072)
    floor (67070.5)     		tx = 67070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511707305908203 × 217)
    floor (0.511707305908203 × 131072)
    floor (67070.5)     		ty = 67070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67070 / 67070 ti = "17/67070/67070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67070/67070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67070 ÷ 217
    67070 ÷ 131072     		x = 0.511703491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67070 ÷ 217
    67070 ÷ 131072     		y = 0.511703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511703491210938 × 2 - 1) × π
    0.023406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07353520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511703491210938 × 2 - 1) × π
    -0.023406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0735352040171661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07353520} λ = 0.07353520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0735352040171661))-π/2
    2×atan(0.929103437042436)-π/2
    2×0.748663653012768-π/2
    1.49732730602554-1.57079632675     		φ = -0.07346902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07353520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.213257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07346902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.209465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67070 KachelY 67070 0.07353520 -0.07346902 4.213257 -4.209465
    Oben rechts KachelX + 1 67071 KachelY 67070 0.07358314 -0.07346902 4.216003 -4.209465
    Unten links KachelX 67070 KachelY + 1 67071 0.07353520 -0.07351683 4.213257 -4.212204
    Unten rechts KachelX + 1 67071 KachelY + 1 67071 0.07358314 -0.07351683 4.216003 -4.212204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07346902--0.07351683) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dl = 304.597510000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07346902--0.07351683) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dr = 304.597510000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07353520-0.07358314) × cos(-0.07346902) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997302365295547 × 6371000     		do = 304.601812924207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07353520-0.07358314) × cos(-0.07351683) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997298854760984 × 6371000     		du = 304.600740716591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07346902)-sin(-0.07351683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997302365295547-0.997298854760984)×R²
    abs(0.07358314-0.07353520)×3.51053456237871e-06×R²
    4.79400000000102e-05×3.51053456237871e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×3.51053456237871e-06×40589641000000     		ar = 92780.7904800017m²