Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67067 / 67081
↖ ↑ ↗
← S  4.239595°
E  4.205017°		 ← 304.59 m → S  4.239595°
E  4.207764°		 →
↑
304.60 m
↓
↑
304.60 m
↓
S  4.242334°
E  4.205017°		 ← 304.59 m →
92 777 m²		 S  4.242334°
E  4.207764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511684417724609 y=0.511791229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511684417724609 × 217)
    floor (0.511684417724609 × 131072)
    floor (67067.5)     		tx = 67067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511791229248047 × 217)
    floor (0.511791229248047 × 131072)
    floor (67081.5)     		ty = 67081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67067 / 67081 ti = "17/67067/67081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67067/67081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67067 ÷ 217
    67067 ÷ 131072     		x = 0.511680603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67081 ÷ 217
    67081 ÷ 131072     		y = 0.511787414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511680603027344 × 2 - 1) × π
    0.0233612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07339139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511787414550781 × 2 - 1) × π
    -0.0235748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0740625099129868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07339139} λ = 0.07339139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0740625099129868))-π/2
    2×atan(0.928613644468861)-π/2
    2×0.748400716404953-π/2
    1.49680143280991-1.57079632675     		φ = -0.07399489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07339139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.205017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07399489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.239595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67067 KachelY 67081 0.07339139 -0.07399489 4.205017 -4.239595
    Oben rechts KachelX + 1 67068 KachelY 67081 0.07343933 -0.07399489 4.207764 -4.239595
    Unten links KachelX 67067 KachelY + 1 67082 0.07339139 -0.07404270 4.205017 -4.242334
    Unten rechts KachelX + 1 67068 KachelY + 1 67082 0.07343933 -0.07404270 4.207764 -4.242334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07399489--0.07404270) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dl = 304.597510000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07399489--0.07404270) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dr = 304.597510000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07339139-0.07343933) × cos(-0.07399489) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997263626994583 × 6371000     		do = 304.589981249881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07339139-0.07343933) × cos(-0.07404270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99726009138653 × 6371000     		du = 304.588901384175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07399489)-sin(-0.07404270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997263626994583-0.99726009138653)×R²
    abs(0.07343933-0.07339139)×3.53560805288478e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.53560805288478e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.53560805288478e-06×40589641000000     		ar = 92777.1854151411m²