Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67066 / 67068
↖ ↑ ↗
← S  4.203987°
E  4.202271°		 ← 304.54 m → S  4.203987°
E  4.205017°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.206725°
E  4.202271°		 ← 304.54 m →
92 743 m²		 S  4.206725°
E  4.205017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511676788330078 y=0.511692047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511676788330078 × 217)
    floor (0.511676788330078 × 131072)
    floor (67066.5)     		tx = 67066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511692047119141 × 217)
    floor (0.511692047119141 × 131072)
    floor (67068.5)     		ty = 67068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67066 / 67068 ti = "17/67066/67068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67066/67068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67066 ÷ 217
    67066 ÷ 131072     		x = 0.511672973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67068 ÷ 217
    67068 ÷ 131072     		y = 0.511688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511672973632812 × 2 - 1) × π
    0.023345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07334346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.02337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.073439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07334346} λ = 0.07334346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.073439330217926))-π/2
    2×atan(0.929192517989029)-π/2
    2×0.74871146076429-π/2
    1.49742292152858-1.57079632675     		φ = -0.07337341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07334346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.202271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07337341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.203987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67066 KachelY 67068 0.07334346 -0.07337341 4.202271 -4.203987
    Oben rechts KachelX + 1 67067 KachelY 67068 0.07339139 -0.07337341 4.205017 -4.203987
    Unten links KachelX 67066 KachelY + 1 67069 0.07334346 -0.07342121 4.202271 -4.206725
    Unten rechts KachelX + 1 67067 KachelY + 1 67069 0.07339139 -0.07342121 4.205017 -4.206725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07337341--0.07342121) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07337341--0.07342121) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07334346-0.07339139) × cos(-0.07337341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997309378792698 × 6371000     		do = 304.540416446187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07334346-0.07339139) × cos(-0.07342121) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997305873550479 × 6371000     		du = 304.539346078308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07337341)-sin(-0.07342121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997309378792698-0.997305873550479)×R²
    abs(0.07339139-0.07334346)×3.5052422187043e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.5052422187043e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.5052422187043e-06×40589641000000     		ar = 92742.6873100151m²