Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67064 / 67096
↖ ↑ ↗
← S  4.280680°
E  4.196777°		 ← 304.57 m → S  4.280680°
E  4.199524°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.283419°
E  4.196777°		 ← 304.57 m →
92 753 m²		 S  4.283419°
E  4.199524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511661529541016 y=0.511905670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511661529541016 × 217)
    floor (0.511661529541016 × 131072)
    floor (67064.5)     		tx = 67064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511905670166016 × 217)
    floor (0.511905670166016 × 131072)
    floor (67096.5)     		ty = 67096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67064 / 67096 ti = "17/67064/67096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67064/67096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67064 ÷ 217
    67064 ÷ 131072     		x = 0.51165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67096 ÷ 217
    67096 ÷ 131072     		y = 0.51190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07324758} λ = 0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0747815634072876))-π/2
    2×atan(0.927946161589658)-π/2
    2×0.748042183017419-π/2
    1.49608436603484-1.57079632675     		φ = -0.07471196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07471196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.280680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67064 KachelY 67096 0.07324758 -0.07471196 4.196777 -4.280680
    Oben rechts KachelX + 1 67065 KachelY 67096 0.07329552 -0.07471196 4.199524 -4.280680
    Unten links KachelX 67064 KachelY + 1 67097 0.07324758 -0.07475976 4.196777 -4.283419
    Unten rechts KachelX + 1 67065 KachelY + 1 67097 0.07329552 -0.07475976 4.199524 -4.283419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07471196--0.07475976) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07471196--0.07475976) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07324758-0.07329552) × cos(-0.07471196) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997210359497889 × 6371000     		do = 304.573711985285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07324758-0.07329552) × cos(-0.07475976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997206790448405 × 6371000     		du = 304.572621905706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07471196)-sin(-0.07475976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997210359497889-0.997206790448405)×R²
    abs(0.07329552-0.07324758)×3.56904948417558e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.56904948417558e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.56904948417558e-06×40589641000000     		ar = 92752.8239255972m²