Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67064 / 64984
↖ ↑ ↗
← N  1.515936°
E  4.196777°		 ← 305.32 m → N  1.515936°
E  4.199524°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.513191°
E  4.196777°		 ← 305.32 m →
93 213 m²		 N  1.513191°
E  4.199524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511661529541016 y=0.495792388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511661529541016 × 217)
    floor (0.511661529541016 × 131072)
    floor (67064.5)     		tx = 67064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495792388916016 × 217)
    floor (0.495792388916016 × 131072)
    floor (64984.5)     		ty = 64984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67064 / 64984 ti = "17/67064/64984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67064/64984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67064 ÷ 217
    67064 ÷ 131072     		x = 0.51165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64984 ÷ 217
    64984 ÷ 131072     		y = 0.49578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49578857421875 × 2 - 1) × π
    0.0084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.026461168590271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07324758} λ = 0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.026461168590271))-π/2
    2×atan(1.02681437383785)-π/2
    2×0.798627203968074-π/2
    1.59725440793615-1.57079632675     		φ = 0.02645808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02645808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.515936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67064 KachelY 64984 0.07324758 0.02645808 4.196777 1.515936
    Oben rechts KachelX + 1 67065 KachelY 64984 0.07329552 0.02645808 4.199524 1.515936
    Unten links KachelX 67064 KachelY + 1 64985 0.07324758 0.02641016 4.196777 1.513191
    Unten rechts KachelX + 1 67065 KachelY + 1 64985 0.07329552 0.02641016 4.199524 1.513191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02645808-0.02641016) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02645808-0.02641016) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07324758-0.07329552) × cos(0.02645808) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999650005419297 × 6371000     		do = 305.318842646169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07324758-0.07329552) × cos(0.02641016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999651271994809 × 6371000     		du = 305.319229490932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02645808)-sin(0.02641016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999650005419297-0.999651271994809)×R²
    abs(0.07329552-0.07324758)×1.26657551224874e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.26657551224874e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.26657551224874e-06×40589641000000     		ar = 93213.3887935858m²