Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67063 / 65033
↖ ↑ ↗
← N  1.381397°
E  4.194031°		 ← 305.27 m → N  1.381397°
E  4.196777°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.378651°
E  4.194031°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 N  1.378651°
E  4.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511653900146484 y=0.496166229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511653900146484 × 217)
    floor (0.511653900146484 × 131072)
    floor (67063.5)     		tx = 67063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496166229248047 × 217)
    floor (0.496166229248047 × 131072)
    floor (65033.5)     		ty = 65033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67063 / 65033 ti = "17/67063/65033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67063/65033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67063 ÷ 217
    67063 ÷ 131072     		x = 0.511650085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65033 ÷ 217
    65033 ÷ 131072     		y = 0.496162414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511650085449219 × 2 - 1) × π
    0.0233001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07319965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496162414550781 × 2 - 1) × π
    0.0076751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0241122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07319965} λ = 0.07319965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0241122605088882))-π/2
    2×atan(1.02440531169747)-π/2
    2×0.797453125580422-π/2
    1.59490625116084-1.57079632675     		φ = 0.02410992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07319965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.194031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02410992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.381397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67063 KachelY 65033 0.07319965 0.02410992 4.194031 1.381397
    Oben rechts KachelX + 1 67064 KachelY 65033 0.07324758 0.02410992 4.196777 1.381397
    Unten links KachelX 67063 KachelY + 1 65034 0.07319965 0.02406200 4.194031 1.378651
    Unten rechts KachelX + 1 67064 KachelY + 1 65034 0.07324758 0.02406200 4.196777 1.378651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02410992-0.02406200) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02410992-0.02406200) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07319965-0.07324758) × cos(0.02410992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999709369957525 × 6371000     		do = 305.273282620261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07319965-0.07324758) × cos(0.02406200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999710524045133 × 6371000     		du = 305.273635034796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02410992)-sin(0.02406200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999709369957525-0.999710524045133)×R²
    abs(0.07324758-0.07319965)×1.15408760803515e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.15408760803515e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.15408760803515e-06×40589641000000     		ar = 93199.4741384655m²