Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67062 / 65014
↖ ↑ ↗
← N  1.433566°
E  4.191284°		 ← 305.33 m → N  1.433566°
E  4.194031°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.430821°
E  4.191284°		 ← 305.33 m →
93 217 m²		 N  1.430821°
E  4.194031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511646270751953 y=0.496021270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511646270751953 × 217)
    floor (0.511646270751953 × 131072)
    floor (67062.5)     		tx = 67062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496021270751953 × 217)
    floor (0.496021270751953 × 131072)
    floor (65014.5)     		ty = 65014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67062 / 65014 ti = "17/67062/65014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67062/65014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67062 ÷ 217
    67062 ÷ 131072     		x = 0.511642456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65014 ÷ 217
    65014 ÷ 131072     		y = 0.496017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511642456054688 × 2 - 1) × π
    0.023284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07315171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496017456054688 × 2 - 1) × π
    0.007965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0250230616016693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07315171} λ = 0.07315171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0250230616016693))-π/2
    2×atan(1.02533876620598)-π/2
    2×0.797908388712603-π/2
    1.59581677742521-1.57079632675     		φ = 0.02502045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07315171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.191284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02502045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.433566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67062 KachelY 65014 0.07315171 0.02502045 4.191284 1.433566
    Oben rechts KachelX + 1 67063 KachelY 65014 0.07319965 0.02502045 4.194031 1.433566
    Unten links KachelX 67062 KachelY + 1 65015 0.07315171 0.02497253 4.191284 1.430821
    Unten rechts KachelX + 1 67063 KachelY + 1 65015 0.07319965 0.02497253 4.194031 1.430821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02502045-0.02497253) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02502045-0.02497253) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07315171-0.07319965) × cos(0.02502045) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99968700486992 × 6371000     		do = 305.330143230844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07315171-0.07319965) × cos(0.02497253) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999688202576986 × 6371000     		du = 305.330509041411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02502045)-sin(0.02497253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99968700486992-0.999688202576986)×R²
    abs(0.07319965-0.07315171)×1.19770706552558e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.19770706552558e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.19770706552558e-06×40589641000000     		ar = 93216.8356322451m²