Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67060 / 65013
↖ ↑ ↗
← N  1.436312°
E  4.185791°		 ← 305.27 m → N  1.436312°
E  4.188537°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.433566°
E  4.185791°		 ← 305.27 m →
93 197 m²		 N  1.433566°
E  4.188537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511631011962891 y=0.496013641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511631011962891 × 217)
    floor (0.511631011962891 × 131072)
    floor (67060.5)     		tx = 67060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496013641357422 × 217)
    floor (0.496013641357422 × 131072)
    floor (65013.5)     		ty = 65013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67060 / 65013 ti = "17/67060/65013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67060/65013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67060 ÷ 217
    67060 ÷ 131072     		x = 0.511627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65013 ÷ 217
    65013 ÷ 131072     		y = 0.496009826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511627197265625 × 2 - 1) × π
    0.02325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07305584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496009826660156 × 2 - 1) × π
    0.0079803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0250709985012894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07305584} λ = 0.07305584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0250709985012894))-π/2
    2×atan(1.02538791894559)-π/2
    2×0.797932349646027-π/2
    1.59586469929205-1.57079632675     		φ = 0.02506837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07305584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.185791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02506837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.436312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67060 KachelY 65013 0.07305584 0.02506837 4.185791 1.436312
    Oben rechts KachelX + 1 67061 KachelY 65013 0.07310377 0.02506837 4.188537 1.436312
    Unten links KachelX 67060 KachelY + 1 65014 0.07305584 0.02502045 4.185791 1.433566
    Unten rechts KachelX + 1 67061 KachelY + 1 65014 0.07310377 0.02502045 4.188537 1.433566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02506837-0.02502045) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02506837-0.02502045) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07305584-0.07310377) × cos(0.02506837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999685804867247 × 6371000     		do = 305.266086736457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07305584-0.07310377) × cos(0.02502045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99968700486992 × 6371000     		du = 305.266453171709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02506837)-sin(0.02502045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999685804867247-0.99968700486992)×R²
    abs(0.07310377-0.07305584)×1.20000267311848e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.20000267311848e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.20000267311848e-06×40589641000000     		ar = 93197.2793874843m²