Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67059 / 67103
↖ ↑ ↗
← S  4.299852°
E  4.183045°		 ← 304.57 m → S  4.299852°
E  4.185791°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.302591°
E  4.183045°		 ← 304.56 m →
92 750 m²		 S  4.302591°
E  4.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511623382568359 y=0.511959075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511623382568359 × 217)
    floor (0.511623382568359 × 131072)
    floor (67059.5)     		tx = 67059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511959075927734 × 217)
    floor (0.511959075927734 × 131072)
    floor (67103.5)     		ty = 67103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67059 / 67103 ti = "17/67059/67103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67059/67103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67059 ÷ 217
    67059 ÷ 131072     		x = 0.511619567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67103 ÷ 217
    67103 ÷ 131072     		y = 0.511955261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511619567871094 × 2 - 1) × π
    0.0232391357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07300790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511955261230469 × 2 - 1) × π
    -0.0239105224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.075117121704628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07300790} λ = 0.07300790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.075117121704628))-π/2
    2×atan(0.927634833792886)-π/2
    2×0.747874874010684-π/2
    1.49574974802137-1.57079632675     		φ = -0.07504658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07300790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.183045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07504658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.299852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67059 KachelY 67103 0.07300790 -0.07504658 4.183045 -4.299852
    Oben rechts KachelX + 1 67060 KachelY 67103 0.07305584 -0.07504658 4.185791 -4.299852
    Unten links KachelX 67059 KachelY + 1 67104 0.07300790 -0.07509438 4.183045 -4.302591
    Unten rechts KachelX + 1 67060 KachelY + 1 67104 0.07305584 -0.07509438 4.185791 -4.302591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07504658--0.07509438) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07504658--0.07509438) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07300790-0.07305584) × cos(-0.07504658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997185326804645 × 6371000     		do = 304.566066356427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07300790-0.07305584) × cos(-0.07509438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997181741805174 × 6371000     		du = 304.564971405311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07504658)-sin(-0.07509438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997185326804645-0.997181741805174)×R²
    abs(0.07305584-0.07300790)×3.58499947172852e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.58499947172852e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.58499947172852e-06×40589641000000     		ar = 92750.4948314312m²