Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67058 / 67078
↖ ↑ ↗
← S  4.231378°
E  4.180298°		 ← 304.59 m → S  4.231378°
E  4.183045°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.234117°
E  4.180298°		 ← 304.59 m →
92 759 m²		 S  4.234117°
E  4.183045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511615753173828 y=0.511768341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511615753173828 × 217)
    floor (0.511615753173828 × 131072)
    floor (67058.5)     		tx = 67058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511768341064453 × 217)
    floor (0.511768341064453 × 131072)
    floor (67078.5)     		ty = 67078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67058 / 67078 ti = "17/67058/67078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67058/67078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67058 ÷ 217
    67058 ÷ 131072     		x = 0.511611938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67078 ÷ 217
    67078 ÷ 131072     		y = 0.511764526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511611938476562 × 2 - 1) × π
    0.023223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07295996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511764526367188 × 2 - 1) × π
    -0.023529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0739186992141266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07295996} λ = 0.07295996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0739186992141266))-π/2
    2×atan(0.928747198649073)-π/2
    2×0.748472425375447-π/2
    1.49694485075089-1.57079632675     		φ = -0.07385148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07295996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07385148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.231378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67058 KachelY 67078 0.07295996 -0.07385148 4.180298 -4.231378
    Oben rechts KachelX + 1 67059 KachelY 67078 0.07300790 -0.07385148 4.183045 -4.231378
    Unten links KachelX 67058 KachelY + 1 67079 0.07295996 -0.07389928 4.180298 -4.234117
    Unten rechts KachelX + 1 67059 KachelY + 1 67079 0.07300790 -0.07389928 4.183045 -4.234117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07385148--0.07389928) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07385148--0.07389928) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07295996-0.07300790) × cos(-0.07385148) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997274218665774 × 6371000     		do = 304.593216218892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07295996-0.07300790) × cos(-0.07389928) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997270690633736 × 6371000     		du = 304.592138667097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07385148)-sin(-0.07389928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997274218665774-0.997270690633736)×R²
    abs(0.07300790-0.07295996)×3.52803203784724e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.52803203784724e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.52803203784724e-06×40589641000000     		ar = 92758.7655315555m²