Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67058 / 65010
↖ ↑ ↗
← N  1.444549°
E  4.180298°		 ← 305.33 m → N  1.444549°
E  4.183045°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.441804°
E  4.180298°		 ← 305.33 m →
93 216 m²		 N  1.441804°
E  4.183045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511615753173828 y=0.495990753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511615753173828 × 217)
    floor (0.511615753173828 × 131072)
    floor (67058.5)     		tx = 67058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495990753173828 × 217)
    floor (0.495990753173828 × 131072)
    floor (65010.5)     		ty = 65010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67058 / 65010 ti = "17/67058/65010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67058/65010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67058 ÷ 217
    67058 ÷ 131072     		x = 0.511611938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65010 ÷ 217
    65010 ÷ 131072     		y = 0.495986938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511611938476562 × 2 - 1) × π
    0.023223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07295996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495986938476562 × 2 - 1) × π
    0.008026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0252148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07295996} λ = 0.07295996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0252148092001495))-π/2
    2×atan(1.02553539130262)-π/2
    2×0.798004232273336-π/2
    1.59600846454667-1.57079632675     		φ = 0.02521214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07295996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02521214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.444549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67058 KachelY 65010 0.07295996 0.02521214 4.180298 1.444549
    Oben rechts KachelX + 1 67059 KachelY 65010 0.07300790 0.02521214 4.183045 1.444549
    Unten links KachelX 67058 KachelY + 1 65011 0.07295996 0.02516422 4.180298 1.441804
    Unten rechts KachelX + 1 67059 KachelY + 1 65011 0.07300790 0.02516422 4.183045 1.441804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02521214-0.02516422) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02521214-0.02516422) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07295996-0.07300790) × cos(0.02521214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999682190833515 × 6371000     		do = 305.328672900124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07295996-0.07300790) × cos(0.02516422) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999683397723473 × 6371000     		du = 305.329041515383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02521214)-sin(0.02516422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999682190833515-0.999683397723473)×R²
    abs(0.07300790-0.07295996)×1.20688995863816e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.20688995863816e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.20688995863816e-06×40589641000000     		ar = 93216.3871708869m²