Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67055 / 65007
↖ ↑ ↗
← N  1.452786°
E  4.172058°		 ← 305.33 m → N  1.452786°
E  4.174805°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.450040°
E  4.172058°		 ← 305.33 m →
93 216 m²		 N  1.450040°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511592864990234 y=0.495967864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511592864990234 × 217)
    floor (0.511592864990234 × 131072)
    floor (67055.5)     		tx = 67055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495967864990234 × 217)
    floor (0.495967864990234 × 131072)
    floor (65007.5)     		ty = 65007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67055 / 65007 ti = "17/67055/65007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67055/65007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67055 ÷ 217
    67055 ÷ 131072     		x = 0.511589050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65007 ÷ 217
    65007 ÷ 131072     		y = 0.495964050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511589050292969 × 2 - 1) × π
    0.0231781005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07281615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495964050292969 × 2 - 1) × π
    0.0080718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0253586198990097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07281615} λ = 0.07281615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0253586198990097))-π/2
    2×atan(1.02568288486927)-π/2
    2×0.798076114640042-π/2
    1.59615222928008-1.57079632675     		φ = 0.02535590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07281615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.172058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02535590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.452786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67055 KachelY 65007 0.07281615 0.02535590 4.172058 1.452786
    Oben rechts KachelX + 1 67056 KachelY 65007 0.07286409 0.02535590 4.174805 1.452786
    Unten links KachelX 67055 KachelY + 1 65008 0.07281615 0.02530798 4.172058 1.450040
    Unten rechts KachelX + 1 67056 KachelY + 1 65008 0.07286409 0.02530798 4.174805 1.450040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02535590-0.02530798) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02535590-0.02530798) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07281615-0.07286409) × cos(0.02535590) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99967855639007 × 6371000     		do = 305.327562847634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07281615-0.07286409) × cos(0.02530798) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99967977016681 × 6371000     		du = 305.327933566293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02535590)-sin(0.02530798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99967855639007-0.99967977016681)×R²
    abs(0.07286409-0.07281615)×1.21377674000556e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.21377674000556e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.21377674000556e-06×40589641000000     		ar = 93216.0485948114m²