Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67052 / 67100
↖ ↑ ↗
← S  4.291636°
E  4.163818°		 ← 304.57 m → S  4.291636°
E  4.166565°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.294374°
E  4.163818°		 ← 304.57 m →
92 751 m²		 S  4.294374°
E  4.166565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511569976806641 y=0.511936187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511569976806641 × 217)
    floor (0.511569976806641 × 131072)
    floor (67052.5)     		tx = 67052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511936187744141 × 217)
    floor (0.511936187744141 × 131072)
    floor (67100.5)     		ty = 67100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67052 / 67100 ti = "17/67052/67100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67052/67100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67052 ÷ 217
    67052 ÷ 131072     		x = 0.511566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67100 ÷ 217
    67100 ÷ 131072     		y = 0.511932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511566162109375 × 2 - 1) × π
    0.02313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07267234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511932373046875 × 2 - 1) × π
    -0.02386474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0749733110057678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07267234} λ = 0.07267234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0749733110057678))-π/2
    2×atan(0.927768247199528)-π/2
    2×0.747946577356381-π/2
    1.49589315471276-1.57079632675     		φ = -0.07490317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07267234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07490317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.291636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67052 KachelY 67100 0.07267234 -0.07490317 4.163818 -4.291636
    Oben rechts KachelX + 1 67053 KachelY 67100 0.07272028 -0.07490317 4.166565 -4.291636
    Unten links KachelX 67052 KachelY + 1 67101 0.07267234 -0.07495097 4.163818 -4.294374
    Unten rechts KachelX + 1 67053 KachelY + 1 67101 0.07272028 -0.07495097 4.166565 -4.294374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07490317--0.07495097) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07490317--0.07495097) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07267234-0.07272028) × cos(-0.07490317) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997196068880906 × 6371000     		do = 304.569347263018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07267234-0.07272028) × cos(-0.07495097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997192490717162 × 6371000     		du = 304.568254399709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07490317)-sin(-0.07495097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997196068880906-0.997192490717162)×R²
    abs(0.07272028-0.07267234)×3.57816374363384e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.57816374363384e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.57816374363384e-06×40589641000000     		ar = 92751.4942962902m²