Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67052 / 65036
↖ ↑ ↗
← N  1.373160°
E  4.163818°		 ← 305.34 m → N  1.373160°
E  4.166565°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.370414°
E  4.163818°		 ← 305.34 m →
93 239 m²		 N  1.370414°
E  4.166565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511569976806641 y=0.496189117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511569976806641 × 217)
    floor (0.511569976806641 × 131072)
    floor (67052.5)     		tx = 67052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496189117431641 × 217)
    floor (0.496189117431641 × 131072)
    floor (65036.5)     		ty = 65036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67052 / 65036 ti = "17/67052/65036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67052/65036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67052 ÷ 217
    67052 ÷ 131072     		x = 0.511566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65036 ÷ 217
    65036 ÷ 131072     		y = 0.496185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511566162109375 × 2 - 1) × π
    0.02313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07267234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496185302734375 × 2 - 1) × π
    0.00762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07267234} λ = 0.07267234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0239684498100281))-π/2
    2×atan(1.0242580018463)-π/2
    2×0.797381241004493-π/2
    1.59476248200899-1.57079632675     		φ = 0.02396616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07267234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02396616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.373160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67052 KachelY 65036 0.07267234 0.02396616 4.163818 1.373160
    Oben rechts KachelX + 1 67053 KachelY 65036 0.07272028 0.02396616 4.166565 1.373160
    Unten links KachelX 67052 KachelY + 1 65037 0.07267234 0.02391823 4.163818 1.370414
    Unten rechts KachelX + 1 67053 KachelY + 1 65037 0.07272028 0.02391823 4.166565 1.370414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02396616-0.02391823) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02396616-0.02391823) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07267234-0.07272028) × cos(0.02396616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999712825333361 × 6371000     		do = 305.338029464909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07267234-0.07272028) × cos(0.02391823) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999713972773136 × 6371000     		du = 305.338379922551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02396616)-sin(0.02391823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999712825333361-0.999713972773136)×R²
    abs(0.07272028-0.07267234)×1.14743977475129e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.14743977475129e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.14743977475129e-06×40589641000000     		ar = 93238.6940396799m²