Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67039 / 65055
↖ ↑ ↗
← N  1.320989°
E  4.128113°		 ← 305.34 m → N  1.320989°
E  4.130860°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.318243°
E  4.128113°		 ← 305.34 m →
93 241 m²		 N  1.318243°
E  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511470794677734 y=0.496334075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511470794677734 × 217)
    floor (0.511470794677734 × 131072)
    floor (67039.5)     		tx = 67039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496334075927734 × 217)
    floor (0.496334075927734 × 131072)
    floor (65055.5)     		ty = 65055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67039 / 65055 ti = "17/67039/65055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67039/65055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67039 ÷ 217
    67039 ÷ 131072     		x = 0.511466979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65055 ÷ 217
    65055 ÷ 131072     		y = 0.496330261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511466979980469 × 2 - 1) × π
    0.0229339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07204916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496330261230469 × 2 - 1) × π
    0.0073394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.023057648717247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07204916} λ = 0.07204916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.023057648717247))-π/2
    2×atan(1.02332553125101)-π/2
    2×0.796925966331995-π/2
    1.59385193266399-1.57079632675     		φ = 0.02305561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07204916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.128113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02305561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.320989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67039 KachelY 65055 0.07204916 0.02305561 4.128113 1.320989
    Oben rechts KachelX + 1 67040 KachelY 65055 0.07209710 0.02305561 4.130860 1.320989
    Unten links KachelX 67039 KachelY + 1 65056 0.07204916 0.02300768 4.128113 1.318243
    Unten rechts KachelX + 1 67040 KachelY + 1 65056 0.07209710 0.02300768 4.130860 1.318243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02305561-0.02300768) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02305561-0.02300768) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07204916-0.07209710) × cos(0.02305561) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999734231196775 × 6371000     		do = 305.344567366583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07204916-0.07209710) × cos(0.02300768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999735335005926 × 6371000     		du = 305.344904498309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02305561)-sin(0.02300768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999734231196775-0.999735335005926)×R²
    abs(0.07209710-0.07204916)×1.10380915152586e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.10380915152586e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.10380915152586e-06×40589641000000     		ar = 93240.6884320013m²