Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67012 / 67780
↖ ↑ ↗
← S  6.151478°
E  4.053955°		 ← 303.67 m → S  6.151478°
E  4.056702°		 →
↑
303.71 m
↓
↑
303.71 m
↓
S  6.154209°
E  4.053955°		 ← 303.67 m →
92 225 m²		 S  6.154209°
E  4.056702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511264801025391 y=0.517124176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511264801025391 × 217)
    floor (0.511264801025391 × 131072)
    floor (67012.5)     		tx = 67012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517124176025391 × 217)
    floor (0.517124176025391 × 131072)
    floor (67780.5)     		ty = 67780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67012 / 67780 ti = "17/67012/67780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67012/67780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67012 ÷ 217
    67012 ÷ 131072     		x = 0.511260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67780 ÷ 217
    67780 ÷ 131072     		y = 0.517120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511260986328125 × 2 - 1) × π
    0.02252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07075486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.03424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.107570402747406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07075486} λ = 0.07075486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.107570402747406))-π/2
    2×atan(0.898013297621868)-π/2
    2×0.731716391229327-π/2
    1.46343278245865-1.57079632675     		φ = -0.10736354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07075486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.053955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10736354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.151478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67012 KachelY 67780 0.07075486 -0.10736354 4.053955 -6.151478
    Oben rechts KachelX + 1 67013 KachelY 67780 0.07080280 -0.10736354 4.056702 -6.151478
    Unten links KachelX 67012 KachelY + 1 67781 0.07075486 -0.10741121 4.053955 -6.154209
    Unten rechts KachelX + 1 67013 KachelY + 1 67781 0.07080280 -0.10741121 4.056702 -6.154209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10736354--0.10741121) × R
    4.76699999999997e-05 × 6371000     		dl = 303.705569999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10736354--0.10741121) × R
    4.76699999999997e-05 × 6371000     		dr = 303.705569999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07075486-0.07080280) × cos(-0.10736354) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994242069267105 × 6371000     		do = 303.667119745013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07075486-0.07080280) × cos(-0.10741121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994236959944327 × 6371000     		du = 303.665559226323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10736354)-sin(-0.10741121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994242069267105-0.994236959944327)×R²
    abs(0.07080280-0.07075486)×5.10932277808518e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.10932277808518e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.10932277808518e-06×40589641000000     		ar = 92225.1587407577m²