Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66872 / 66858
↖ ↑ ↗
← S  3.628554°
E  3.669434°		 ← 304.75 m → S  3.628554°
E  3.672180°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.631295°
E  3.669434°		 ← 304.75 m →
92 884 m²		 S  3.631295°
E  3.672180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510196685791016 y=0.510089874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510196685791016 × 217)
    floor (0.510196685791016 × 131072)
    floor (66872.5)     		tx = 66872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510089874267578 × 217)
    floor (0.510089874267578 × 131072)
    floor (66858.5)     		ty = 66858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66872 / 66858 ti = "17/66872/66858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66872/66858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66872 ÷ 217
    66872 ÷ 131072     		x = 0.51019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66858 ÷ 217
    66858 ÷ 131072     		y = 0.510086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51019287109375 × 2 - 1) × π
    0.0203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06404370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510086059570312 × 2 - 1) × π
    -0.020172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0633725812977142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06404370} λ = 0.06404370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0633725812977142))-π/2
    2×atan(0.938593706073708)-π/2
    2×0.753733060613452-π/2
    1.5074661212269-1.57079632675     		φ = -0.06333021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06404370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06333021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.628554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66872 KachelY 66858 0.06404370 -0.06333021 3.669434 -3.628554
    Oben rechts KachelX + 1 66873 KachelY 66858 0.06409163 -0.06333021 3.672180 -3.628554
    Unten links KachelX 66872 KachelY + 1 66859 0.06404370 -0.06337805 3.669434 -3.631295
    Unten rechts KachelX + 1 66873 KachelY + 1 66859 0.06409163 -0.06337805 3.672180 -3.631295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06333021--0.06337805) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06333021--0.06337805) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06404370-0.06409163) × cos(-0.06333021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997995312404363 × 6371000     		do = 304.749874526291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06404370-0.06409163) × cos(-0.06337805) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997992283569895 × 6371000     		du = 304.748949635249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06333021)-sin(-0.06337805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997995312404363-0.997992283569895)×R²
    abs(0.06409163-0.06404370)×3.02883446778868e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.02883446778868e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.02883446778868e-06×40589641000000     		ar = 92884.1588666293m²