Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66867 / 66847
↖ ↑ ↗
← S  3.598401°
E  3.655700°		 ← 304.82 m → S  3.598401°
E  3.658447°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.601142°
E  3.655700°		 ← 304.82 m →
92 907 m²		 S  3.601142°
E  3.658447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510158538818359 y=0.510005950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510158538818359 × 217)
    floor (0.510158538818359 × 131072)
    floor (66867.5)     		tx = 66867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510005950927734 × 217)
    floor (0.510005950927734 × 131072)
    floor (66847.5)     		ty = 66847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66867 / 66847 ti = "17/66867/66847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66867/66847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66867 ÷ 217
    66867 ÷ 131072     		x = 0.510154724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66847 ÷ 217
    66847 ÷ 131072     		y = 0.510002136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510154724121094 × 2 - 1) × π
    0.0203094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06380401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510002136230469 × 2 - 1) × π
    -0.0200042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0628452754018936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06380401} λ = 0.06380401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0628452754018936))-π/2
    2×atan(0.939088762580337)-π/2
    2×0.753996189398049-π/2
    1.5079923787961-1.57079632675     		φ = -0.06280395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06380401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.655700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06280395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.598401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66867 KachelY 66847 0.06380401 -0.06280395 3.655700 -3.598401
    Oben rechts KachelX + 1 66868 KachelY 66847 0.06385195 -0.06280395 3.658447 -3.598401
    Unten links KachelX 66867 KachelY + 1 66848 0.06380401 -0.06285179 3.655700 -3.601142
    Unten rechts KachelX + 1 66868 KachelY + 1 66848 0.06385195 -0.06285179 3.658447 -3.601142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06280395--0.06285179) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06280395--0.06285179) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06380401-0.06385195) × cos(-0.06280395) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998028480088123 × 6371000     		do = 304.823587072055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06380401-0.06385195) × cos(-0.06285179) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998025476379844 × 6371000     		du = 304.822669662231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06280395)-sin(-0.06285179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998028480088123-0.998025476379844)×R²
    abs(0.06385195-0.06380401)×3.00370827976959e-06×R²
    4.79400000000102e-05×3.00370827976959e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×3.00370827976959e-06×40589641000000     		ar = 92906.6267533248m²