Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66866 / 66843
↖ ↑ ↗
← S  3.587437°
E  3.652954°		 ← 304.76 m → S  3.587437°
E  3.655700°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.590178°
E  3.652954°		 ← 304.76 m →
92 888 m²		 S  3.590178°
E  3.655700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510150909423828 y=0.509975433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510150909423828 × 217)
    floor (0.510150909423828 × 131072)
    floor (66866.5)     		tx = 66866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509975433349609 × 217)
    floor (0.509975433349609 × 131072)
    floor (66843.5)     		ty = 66843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66866 / 66843 ti = "17/66866/66843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66866/66843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66866 ÷ 217
    66866 ÷ 131072     		x = 0.510147094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66843 ÷ 217
    66843 ÷ 131072     		y = 0.509971618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510147094726562 × 2 - 1) × π
    0.020294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06375608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509971618652344 × 2 - 1) × π
    -0.0199432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0626535278034134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06375608} λ = 0.06375608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0626535278034134))-π/2
    2×atan(0.93926884786023)-π/2
    2×0.754091874755379-π/2
    1.50818374951076-1.57079632675     		φ = -0.06261258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06375608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.652954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06261258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.587437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66866 KachelY 66843 0.06375608 -0.06261258 3.652954 -3.587437
    Oben rechts KachelX + 1 66867 KachelY 66843 0.06380401 -0.06261258 3.655700 -3.587437
    Unten links KachelX 66866 KachelY + 1 66844 0.06375608 -0.06266042 3.652954 -3.590178
    Unten rechts KachelX + 1 66867 KachelY + 1 66844 0.06380401 -0.06266042 3.655700 -3.590178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06261258--0.06266042) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06261258--0.06266042) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06375608-0.06380401) × cos(-0.06261258) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.998040472705356 × 6371000     		do = 304.763664767389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06375608-0.06380401) × cos(-0.06266042) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.998037478134209 × 6371000     		du = 304.762750339064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06261258)-sin(-0.06266042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998040472705356-0.998037478134209)×R²
    abs(0.06380401-0.06375608)×2.99457114738555e-06×R²
    4.79299999999877e-05×2.99457114738555e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.99457114738555e-06×40589641000000     		ar = 92888.3635698757m²