Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66857 / 66857
↖ ↑ ↗
← S  3.625812°
E  3.628235°		 ← 304.81 m → S  3.625812°
E  3.630981°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.628554°
E  3.628235°		 ← 304.81 m →
92 923 m²		 S  3.628554°
E  3.630981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510082244873047 y=0.510082244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510082244873047 × 217)
    floor (0.510082244873047 × 131072)
    floor (66857.5)     		tx = 66857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510082244873047 × 217)
    floor (0.510082244873047 × 131072)
    floor (66857.5)     		ty = 66857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66857 / 66857 ti = "17/66857/66857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66857/66857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66857 ÷ 217
    66857 ÷ 131072     		x = 0.510078430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66857 ÷ 217
    66857 ÷ 131072     		y = 0.510078430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510078430175781 × 2 - 1) × π
    0.0201568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06332464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510078430175781 × 2 - 1) × π
    -0.0201568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0633246443980942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06332464} λ = 0.06332464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0633246443980942))-π/2
    2×atan(0.938638700424416)-π/2
    2×0.753756981050291-π/2
    1.50751396210058-1.57079632675     		φ = -0.06328236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06332464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.628235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06328236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.625812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66857 KachelY 66857 0.06332464 -0.06328236 3.628235 -3.625812
    Oben rechts KachelX + 1 66858 KachelY 66857 0.06337258 -0.06328236 3.630981 -3.625812
    Unten links KachelX 66857 KachelY + 1 66858 0.06332464 -0.06333021 3.628235 -3.628554
    Unten rechts KachelX + 1 66858 KachelY + 1 66858 0.06337258 -0.06333021 3.630981 -3.628554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06328236--0.06333021) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06328236--0.06333021) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06332464-0.06337258) × cos(-0.06328236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997998339587155 × 6371000     		do = 304.814381387155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06332464-0.06337258) × cos(-0.06333021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997995312404363 × 6371000     		du = 304.81345680761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06328236)-sin(-0.06333021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997998339587155-0.997995312404363)×R²
    abs(0.06337258-0.06332464)×3.02718279154846e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.02718279154846e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.02718279154846e-06×40589641000000     		ar = 92923.2395672658m²