Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66855 / 66855
↖ ↑ ↗
← S  3.620330°
E  3.622742°		 ← 304.82 m → S  3.620330°
E  3.625488°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.623071°
E  3.622742°		 ← 304.82 m →
92 904 m²		 S  3.623071°
E  3.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510066986083984 y=0.510066986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510066986083984 × 217)
    floor (0.510066986083984 × 131072)
    floor (66855.5)     		tx = 66855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510066986083984 × 217)
    floor (0.510066986083984 × 131072)
    floor (66855.5)     		ty = 66855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66855 / 66855 ti = "17/66855/66855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66855/66855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66855 ÷ 217
    66855 ÷ 131072     		x = 0.510063171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66855 ÷ 217
    66855 ÷ 131072     		y = 0.510063171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510063171386719 × 2 - 1) × π
    0.0201263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06322877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510063171386719 × 2 - 1) × π
    -0.0201263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0632287705988541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06322877} λ = 0.06322877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0632287705988541))-π/2
    2×atan(0.93872869559676)-π/2
    2×0.753804822141461-π/2
    1.50760964428292-1.57079632675     		φ = -0.06318668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06322877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.622742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06318668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.620330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66855 KachelY 66855 0.06322877 -0.06318668 3.622742 -3.620330
    Oben rechts KachelX + 1 66856 KachelY 66855 0.06327671 -0.06318668 3.625488 -3.620330
    Unten links KachelX 66855 KachelY + 1 66856 0.06322877 -0.06323452 3.622742 -3.623071
    Unten rechts KachelX + 1 66856 KachelY + 1 66856 0.06327671 -0.06323452 3.625488 -3.623071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06318668--0.06323452) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06318668--0.06323452) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06322877-0.06327671) × cos(-0.06318668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99800438583472 × 6371000     		do = 304.816228066791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06322877-0.06327671) × cos(-0.06323452) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998001363852983 × 6371000     		du = 304.815305075783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06318668)-sin(-0.06323452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99800438583472-0.998001363852983)×R²
    abs(0.06327671-0.06322877)×3.02198173696144e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.02198173696144e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.02198173696144e-06×40589641000000     		ar = 92904.3829615585m²