Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66852 / 66836
↖ ↑ ↗
← S  3.568248°
E  3.614502°		 ← 304.83 m → S  3.568248°
E  3.617249°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.570989°
E  3.614502°		 ← 304.83 m →
92 929 m²		 S  3.570989°
E  3.617249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510044097900391 y=0.509922027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510044097900391 × 217)
    floor (0.510044097900391 × 131072)
    floor (66852.5)     		tx = 66852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509922027587891 × 217)
    floor (0.509922027587891 × 131072)
    floor (66836.5)     		ty = 66836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66852 / 66836 ti = "17/66852/66836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66852/66836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66852 ÷ 217
    66852 ÷ 131072     		x = 0.510040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66836 ÷ 217
    66836 ÷ 131072     		y = 0.509918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510040283203125 × 2 - 1) × π
    0.02008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06308496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.01983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.062317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06308496} λ = 0.06308496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.062317969506073))-π/2
    2×atan(0.939584080202019)-π/2
    2×0.75425932689107-π/2
    1.50851865378214-1.57079632675     		φ = -0.06227767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06308496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.614502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06227767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.568248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66852 KachelY 66836 0.06308496 -0.06227767 3.614502 -3.568248
    Oben rechts KachelX + 1 66853 KachelY 66836 0.06313290 -0.06227767 3.617249 -3.568248
    Unten links KachelX 66852 KachelY + 1 66837 0.06308496 -0.06232552 3.614502 -3.570989
    Unten rechts KachelX + 1 66853 KachelY + 1 66837 0.06313290 -0.06232552 3.617249 -3.570989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06227767--0.06232552) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06227767--0.06232552) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06308496-0.06313290) × cos(-0.06227767) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998061372613063 × 6371000     		do = 304.833633295825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06308496-0.06313290) × cos(-0.06232552) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998058393409906 × 6371000     		du = 304.832723370496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06227767)-sin(-0.06232552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998061372613063-0.998058393409906)×R²
    abs(0.06313290-0.06308496)×2.97920315683875e-06×R²
    4.79400000000102e-05×2.97920315683875e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.97920315683875e-06×40589641000000     		ar = 92929.1107905706m²