Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66845 / 66829
↖ ↑ ↗
← S  3.549059°
E  3.595276°		 ← 304.84 m → S  3.549059°
E  3.598023°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.551800°
E  3.595276°		 ← 304.84 m →
92 931 m²		 S  3.551800°
E  3.598023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509990692138672 y=0.509868621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509990692138672 × 217)
    floor (0.509990692138672 × 131072)
    floor (66845.5)     		tx = 66845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509868621826172 × 217)
    floor (0.509868621826172 × 131072)
    floor (66829.5)     		ty = 66829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66845 / 66829 ti = "17/66845/66829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66845/66829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66845 ÷ 217
    66845 ÷ 131072     		x = 0.509986877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66829 ÷ 217
    66829 ÷ 131072     		y = 0.509864807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509986877441406 × 2 - 1) × π
    0.0199737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06274940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509864807128906 × 2 - 1) × π
    -0.0197296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0619824112087326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06274940} λ = 0.06274940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0619824112087326))-π/2
    2×atan(0.939899418340385)-π/2
    2×0.754426782523915-π/2
    1.50885356504783-1.57079632675     		φ = -0.06194276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06274940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.595276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06194276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.549059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66845 KachelY 66829 0.06274940 -0.06194276 3.595276 -3.549059
    Oben rechts KachelX + 1 66846 KachelY 66829 0.06279734 -0.06194276 3.598023 -3.549059
    Unten links KachelX 66845 KachelY + 1 66830 0.06274940 -0.06199061 3.595276 -3.551800
    Unten rechts KachelX + 1 66846 KachelY + 1 66830 0.06279734 -0.06199061 3.598023 -3.551800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06194276--0.06199061) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06194276--0.06199061) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06274940-0.06279734) × cos(-0.06194276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998082160573508 × 6371000     		do = 304.839982473939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06274940-0.06279734) × cos(-0.06199061) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99807919736487 × 6371000     		du = 304.839077433748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06194276)-sin(-0.06199061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998082160573508-0.99807919736487)×R²
    abs(0.06279734-0.06274940)×2.9632086377962e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.9632086377962e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.9632086377962e-06×40589641000000     		ar = 92931.047097061m²