Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66844 / 66830
↖ ↑ ↗
← S  3.551800°
E  3.592529°		 ← 304.84 m → S  3.551800°
E  3.595276°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.554541°
E  3.592529°		 ← 304.84 m →
92 911 m²		 S  3.554541°
E  3.595276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509983062744141 y=0.509876251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509983062744141 × 217)
    floor (0.509983062744141 × 131072)
    floor (66844.5)     		tx = 66844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509876251220703 × 217)
    floor (0.509876251220703 × 131072)
    floor (66830.5)     		ty = 66830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66844 / 66830 ti = "17/66844/66830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66844/66830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66844 ÷ 217
    66844 ÷ 131072     		x = 0.509979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66830 ÷ 217
    66830 ÷ 131072     		y = 0.509872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509979248046875 × 2 - 1) × π
    0.01995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06270146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509872436523438 × 2 - 1) × π
    -0.019744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0620303481083527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06270146} λ = 0.06270146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0620303481083527))-π/2
    2×atan(0.939854363556217)-π/2
    2×0.754402860077249-π/2
    1.5088057201545-1.57079632675     		φ = -0.06199061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06270146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.592529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06199061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.551800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66844 KachelY 66830 0.06270146 -0.06199061 3.592529 -3.551800
    Oben rechts KachelX + 1 66845 KachelY 66830 0.06274940 -0.06199061 3.595276 -3.551800
    Unten links KachelX 66844 KachelY + 1 66831 0.06270146 -0.06203845 3.592529 -3.554541
    Unten rechts KachelX + 1 66845 KachelY + 1 66831 0.06274940 -0.06203845 3.595276 -3.554541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06199061--0.06203845) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06199061--0.06203845) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06270146-0.06274940) × cos(-0.06199061) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99807919736487 × 6371000     		do = 304.839077433748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06270146-0.06274940) × cos(-0.06203845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998076232490994 × 6371000     		du = 304.838171884951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06199061)-sin(-0.06203845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99807919736487-0.998076232490994)×R²
    abs(0.06274940-0.06270146)×2.96487387563271e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.96487387563271e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.96487387563271e-06×40589641000000     		ar = 92911.3498471156m²