Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66838 / 66826
↖ ↑ ↗
← S  3.540835°
E  3.576050°		 ← 304.84 m → S  3.540835°
E  3.578796°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.543576°
E  3.576050°		 ← 304.84 m →
92 912 m²		 S  3.543576°
E  3.578796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509937286376953 y=0.509845733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509937286376953 × 217)
    floor (0.509937286376953 × 131072)
    floor (66838.5)     		tx = 66838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509845733642578 × 217)
    floor (0.509845733642578 × 131072)
    floor (66826.5)     		ty = 66826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66838 / 66826 ti = "17/66838/66826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66838/66826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66838 ÷ 217
    66838 ÷ 131072     		x = 0.509933471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66826 ÷ 217
    66826 ÷ 131072     		y = 0.509841918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509933471679688 × 2 - 1) × π
    0.019866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06241384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509841918945312 × 2 - 1) × π
    -0.019683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0618386005098724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06241384} λ = 0.06241384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0618386005098724))-π/2
    2×atan(0.940034595652334)-π/2
    2×0.754498550289627-π/2
    1.50899710057925-1.57079632675     		φ = -0.06179923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06241384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.576050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06179923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.540835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66838 KachelY 66826 0.06241384 -0.06179923 3.576050 -3.540835
    Oben rechts KachelX + 1 66839 KachelY 66826 0.06246178 -0.06179923 3.578796 -3.540835
    Unten links KachelX 66838 KachelY + 1 66827 0.06241384 -0.06184707 3.576050 -3.543576
    Unten rechts KachelX + 1 66839 KachelY + 1 66827 0.06246178 -0.06184707 3.578796 -3.543576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06179923--0.06184707) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06179923--0.06184707) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06241384-0.06246178) × cos(-0.06179923) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998091035252808 × 6371000     		do = 304.842693029476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06241384-0.06246178) × cos(-0.06184707) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998088079517006 × 6371000     		du = 304.841790271681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06179923)-sin(-0.06184707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998091035252808-0.998088079517006)×R²
    abs(0.06246178-0.06241384)×2.95573580189057e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.95573580189057e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.95573580189057e-06×40589641000000     		ar = 92912.4522649476m²