Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66832 / 66864
↖ ↑ ↗
← S  3.645000°
E  3.559570°		 ← 304.81 m → S  3.645000°
E  3.562317°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.647741°
E  3.559570°		 ← 304.81 m →
92 902 m²		 S  3.647741°
E  3.562317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509891510009766 y=0.510135650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509891510009766 × 217)
    floor (0.509891510009766 × 131072)
    floor (66832.5)     		tx = 66832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510135650634766 × 217)
    floor (0.510135650634766 × 131072)
    floor (66864.5)     		ty = 66864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66832 / 66864 ti = "17/66832/66864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66832/66864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66832 ÷ 217
    66832 ÷ 131072     		x = 0.5098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66864 ÷ 217
    66864 ÷ 131072     		y = 0.5101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0636602026954346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06212622} λ = 0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0636602026954346))-π/2
    2×atan(0.938323785259437)-π/2
    2×0.753589539518304-π/2
    1.50717907903661-1.57079632675     		φ = -0.06361725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06361725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.645000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66832 KachelY 66864 0.06212622 -0.06361725 3.559570 -3.645000
    Oben rechts KachelX + 1 66833 KachelY 66864 0.06217416 -0.06361725 3.562317 -3.645000
    Unten links KachelX 66832 KachelY + 1 66865 0.06212622 -0.06366509 3.559570 -3.647741
    Unten rechts KachelX + 1 66833 KachelY + 1 66865 0.06217416 -0.06366509 3.562317 -3.647741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06361725--0.06366509) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06361725--0.06366509) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06212622-0.06217416) × cos(-0.06361725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997977105136636 × 6371000     		do = 304.807895839391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06212622-0.06217416) × cos(-0.06366509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997974062597849 × 6371000     		du = 304.806966569731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06361725)-sin(-0.06366509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997977105136636-0.997974062597849)×R²
    abs(0.06217416-0.06212622)×3.0425387872457e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.0425387872457e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.0425387872457e-06×40589641000000     		ar = 92901.8424364406m²