Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66827 / 66900
↖ ↑ ↗
← S  3.743671°
E  3.545838°		 ← 304.71 m → S  3.743671°
E  3.548584°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
S  3.746412°
E  3.545838°		 ← 304.71 m →
92 853 m²		 S  3.746412°
E  3.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509853363037109 y=0.510410308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509853363037109 × 217)
    floor (0.509853363037109 × 131072)
    floor (66827.5)     		tx = 66827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510410308837891 × 217)
    floor (0.510410308837891 × 131072)
    floor (66900.5)     		ty = 66900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66827 / 66900 ti = "17/66827/66900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66827/66900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66827 ÷ 217
    66827 ÷ 131072     		x = 0.509849548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66900 ÷ 217
    66900 ÷ 131072     		y = 0.510406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509849548339844 × 2 - 1) × π
    0.0196990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06188654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.02081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0653859310817566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06188654} λ = 0.06188654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0653859310817566))-π/2
    2×atan(0.936705889693333)-π/2
    2×0.752728468470023-π/2
    1.50545693694005-1.57079632675     		φ = -0.06533939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06188654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.545838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06533939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.743671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66827 KachelY 66900 0.06188654 -0.06533939 3.545838 -3.743671
    Oben rechts KachelX + 1 66828 KachelY 66900 0.06193447 -0.06533939 3.548584 -3.743671
    Unten links KachelX 66827 KachelY + 1 66901 0.06188654 -0.06538722 3.545838 -3.746412
    Unten rechts KachelX + 1 66828 KachelY + 1 66901 0.06193447 -0.06538722 3.548584 -3.746412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06533939--0.06538722) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06533939--0.06538722) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06188654-0.06193447) × cos(-0.06533939) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997866141381443 × 6371000     		do = 304.710430600514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06188654-0.06193447) × cos(-0.06538722) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997863017280222 × 6371000     		du = 304.709476618624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06533939)-sin(-0.06538722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997866141381443-0.997863017280222)×R²
    abs(0.06193447-0.06188654)×3.12410122016438e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.12410122016438e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.12410122016438e-06×40589641000000     		ar = 92852.7193016805m²