Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66826 / 66901
↖ ↑ ↗
← S  3.746412°
E  3.543091°		 ← 304.77 m → S  3.746412°
E  3.545838°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.749153°
E  3.543091°		 ← 304.77 m →
92 891 m²		 S  3.749153°
E  3.545838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509845733642578 y=0.510417938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509845733642578 × 217)
    floor (0.509845733642578 × 131072)
    floor (66826.5)     		tx = 66826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510417938232422 × 217)
    floor (0.510417938232422 × 131072)
    floor (66901.5)     		ty = 66901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66826 / 66901 ti = "17/66826/66901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66826/66901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66826 ÷ 217
    66826 ÷ 131072     		x = 0.509841918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66901 ÷ 217
    66901 ÷ 131072     		y = 0.510414123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509841918945312 × 2 - 1) × π
    0.019683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06183860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510414123535156 × 2 - 1) × π
    -0.0208282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0654338679813767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06183860} λ = 0.06183860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0654338679813767))-π/2
    2×atan(0.936660987993358)-π/2
    2×0.752704551202935-π/2
    1.50540910240587-1.57079632675     		φ = -0.06538722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06183860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.543091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06538722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.746412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66826 KachelY 66901 0.06183860 -0.06538722 3.543091 -3.746412
    Oben rechts KachelX + 1 66827 KachelY 66901 0.06188654 -0.06538722 3.545838 -3.746412
    Unten links KachelX 66826 KachelY + 1 66902 0.06183860 -0.06543506 3.543091 -3.749153
    Unten rechts KachelX + 1 66827 KachelY + 1 66902 0.06188654 -0.06543506 3.545838 -3.749153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06538722--0.06543506) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06538722--0.06543506) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06183860-0.06188654) × cos(-0.06538722) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997863017280222 × 6371000     		do = 304.773050471421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06183860-0.06188654) × cos(-0.06543506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997859890242298 × 6371000     		du = 304.772095393549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06538722)-sin(-0.06543506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997863017280222-0.997859890242298)×R²
    abs(0.06188654-0.06183860)×3.12703792393343e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.12703792393343e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.12703792393343e-06×40589641000000     		ar = 92891.2180311287m²