Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66782 / 44006
↖ ↑ ↗
← N 50.781629°
E  3.422241°		 ← 193.07 m → N 50.781629°
E  3.424988°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 50.779892°
E  3.422241°		 ← 193.08 m →
37 284 m²		 N 50.779892°
E  3.424988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509510040283203 y=0.335742950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509510040283203 × 217)
    floor (0.509510040283203 × 131072)
    floor (66782.5)     		tx = 66782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335742950439453 × 217)
    floor (0.335742950439453 × 131072)
    floor (44006.5)     		ty = 44006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66782 / 44006 ti = "17/66782/44006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66782/44006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66782 ÷ 217
    66782 ÷ 131072     		x = 0.509506225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44006 ÷ 217
    44006 ÷ 131072     		y = 0.335739135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509506225585938 × 2 - 1) × π
    0.019012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05972938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335739135742188 × 2 - 1) × π
    0.328521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03208144881981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05972938} λ = 0.05972938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03208144881981))-π/2
    2×atan(2.80690218179668)-π/2
    2×1.22855147276465-π/2
    2.45710294552931-1.57079632675     		φ = 0.88630662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05972938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.422241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88630662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.781629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66782 KachelY 44006 0.05972938 0.88630662 3.422241 50.781629
    Oben rechts KachelX + 1 66783 KachelY 44006 0.05977731 0.88630662 3.424988 50.781629
    Unten links KachelX 66782 KachelY + 1 44007 0.05972938 0.88627631 3.422241 50.779892
    Unten rechts KachelX + 1 66783 KachelY + 1 44007 0.05977731 0.88627631 3.424988 50.779892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88630662-0.88627631) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dl = 193.105010000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88630662-0.88627631) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dr = 193.105010000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05972938-0.05977731) × cos(0.88630662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632277748382146 × 6371000     		do = 193.073616769808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05972938-0.05977731) × cos(0.88627631) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632301230515513 × 6371000     		du = 193.080787321721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88630662)-sin(0.88627631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632277748382146-0.632301230515513)×R²
    abs(0.05977731-0.05972938)×2.34821333670032e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34821333670032e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34821333670032e-05×40589641000000     		ar = 37284.1750346388m²