Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66727 / 44296
↖ ↑ ↗
← N 50.275298°
E  3.271179°		 ← 195.16 m → N 50.275298°
E  3.273926°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 50.273543°
E  3.271179°		 ← 195.16 m →
38 084 m²		 N 50.273543°
E  3.273926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509090423583984 y=0.337955474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509090423583984 × 217)
    floor (0.509090423583984 × 131072)
    floor (66727.5)     		tx = 66727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337955474853516 × 217)
    floor (0.337955474853516 × 131072)
    floor (44296.5)     		ty = 44296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66727 / 44296 ti = "17/66727/44296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66727/44296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66727 ÷ 217
    66727 ÷ 131072     		x = 0.509086608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44296 ÷ 217
    44296 ÷ 131072     		y = 0.33795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509086608886719 × 2 - 1) × π
    0.0181732177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05709285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33795166015625 × 2 - 1) × π
    0.3240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01817974792999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05709285} λ = 0.05709285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01817974792999))-π/2
    2×atan(2.76815144190588)-π/2
    2×1.2241329099845-π/2
    2.448265819969-1.57079632675     		φ = 0.87746949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05709285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.271179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87746949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.275298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66727 KachelY 44296 0.05709285 0.87746949 3.271179 50.275298
    Oben rechts KachelX + 1 66728 KachelY 44296 0.05714078 0.87746949 3.273926 50.275298
    Unten links KachelX 66727 KachelY + 1 44297 0.05709285 0.87743886 3.271179 50.273543
    Unten rechts KachelX + 1 66728 KachelY + 1 44297 0.05714078 0.87743886 3.273926 50.273543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87746949-0.87743886) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87746949-0.87743886) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05709285-0.05714078) × cos(0.87746949) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.639099464566016 × 6371000     		do = 195.156709871798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05709285-0.05714078) × cos(0.87743886) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.639123022537259 × 6371000     		du = 195.16390358172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87746949)-sin(0.87743886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639099464566016-0.639123022537259)×R²
    abs(0.05714078-0.05709285)×2.35579712430933e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35579712430933e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35579712430933e-05×40589641000000     		ar = 38084.3102054302m²