Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66723 / 44133
↖ ↑ ↗
← N 50.560560°
E  3.260193°		 ← 194.03 m → N 50.560560°
E  3.262940°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 50.558815°
E  3.260193°		 ← 194.03 m →
37 653 m²		 N 50.558815°
E  3.262940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509059906005859 y=0.336711883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509059906005859 × 217)
    floor (0.509059906005859 × 131072)
    floor (66723.5)     		tx = 66723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336711883544922 × 217)
    floor (0.336711883544922 × 131072)
    floor (44133.5)     		ty = 44133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66723 / 44133 ti = "17/66723/44133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66723/44133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66723 ÷ 217
    66723 ÷ 131072     		x = 0.509056091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44133 ÷ 217
    44133 ÷ 131072     		y = 0.336708068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509056091308594 × 2 - 1) × π
    0.0181121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05690110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336708068847656 × 2 - 1) × π
    0.326583862304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.02599346256806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05690110} λ = 0.05690110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02599346256806))-π/2
    2×atan(2.78986571142196)-π/2
    2×1.22662228236171-π/2
    2.45324456472341-1.57079632675     		φ = 0.88244824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05690110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.260193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88244824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.560560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66723 KachelY 44133 0.05690110 0.88244824 3.260193 50.560560
    Oben rechts KachelX + 1 66724 KachelY 44133 0.05694904 0.88244824 3.262940 50.560560
    Unten links KachelX 66723 KachelY + 1 44134 0.05690110 0.88241778 3.260193 50.558815
    Unten rechts KachelX + 1 66724 KachelY + 1 44134 0.05694904 0.88241778 3.262940 50.558815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88244824-0.88241778) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dl = 194.06065999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88244824-0.88241778) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dr = 194.06065999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05690110-0.05694904) × cos(0.88244824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635262282828224 × 6371000     		do = 194.025452826885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05690110-0.05694904) × cos(0.88241778) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		du = 194.032637617908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88244824)-sin(0.88241778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635262282828224-0.635285806683885)×R²
    abs(0.05694904-0.05690110)×2.35238556610673e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35238556610673e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35238556610673e-05×40589641000000     		ar = 37653.4045779158m²