Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66722 / 44126
↖ ↑ ↗
← N 50.572772°
E  3.257446°		 ← 193.98 m → N 50.572772°
E  3.260193°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
N 50.571027°
E  3.257446°		 ← 193.98 m →
37 631 m²		 N 50.571027°
E  3.260193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509052276611328 y=0.336658477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509052276611328 × 217)
    floor (0.509052276611328 × 131072)
    floor (66722.5)     		tx = 66722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336658477783203 × 217)
    floor (0.336658477783203 × 131072)
    floor (44126.5)     		ty = 44126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66722 / 44126 ti = "17/66722/44126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66722/44126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66722 ÷ 217
    66722 ÷ 131072     		x = 0.509048461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44126 ÷ 217
    44126 ÷ 131072     		y = 0.336654663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509048461914062 × 2 - 1) × π
    0.018096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05685316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336654663085938 × 2 - 1) × π
    0.326690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0263290208654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05685316} λ = 0.05685316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0263290208654))-π/2
    2×atan(2.79080203109602)-π/2
    2×1.22672885231674-π/2
    2.45345770463348-1.57079632675     		φ = 0.88266138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05685316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.257446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88266138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.572772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66722 KachelY 44126 0.05685316 0.88266138 3.257446 50.572772
    Oben rechts KachelX + 1 66723 KachelY 44126 0.05690110 0.88266138 3.260193 50.572772
    Unten links KachelX 66722 KachelY + 1 44127 0.05685316 0.88263093 3.257446 50.571027
    Unten rechts KachelX + 1 66723 KachelY + 1 44127 0.05690110 0.88263093 3.260193 50.571027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88266138-0.88263093) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88266138-0.88263093) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05685316-0.05690110) × cos(0.88266138) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.635097661131065 × 6371000     		do = 193.975173123238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05685316-0.05690110) × cos(0.88263093) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.635121181386421 × 6371000     		du = 193.982356814635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88266138)-sin(0.88263093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635097661131065-0.635121181386421)×R²
    abs(0.05690110-0.05685316)×2.35202553560132e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35202553560132e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35202553560132e-05×40589641000000     		ar = 37631.2887717973m²