Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66719 / 44129
↖ ↑ ↗
← N 50.567538°
E  3.249206°		 ← 194 m → N 50.567538°
E  3.251953°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
N 50.565794°
E  3.249206°		 ← 194 m →
37 635 m²		 N 50.565794°
E  3.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509029388427734 y=0.336681365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509029388427734 × 217)
    floor (0.509029388427734 × 131072)
    floor (66719.5)     		tx = 66719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336681365966797 × 217)
    floor (0.336681365966797 × 131072)
    floor (44129.5)     		ty = 44129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66719 / 44129 ti = "17/66719/44129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66719/44129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66719 ÷ 217
    66719 ÷ 131072     		x = 0.509025573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44129 ÷ 217
    44129 ÷ 131072     		y = 0.336677551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509025573730469 × 2 - 1) × π
    0.0180511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05670935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336677551269531 × 2 - 1) × π
    0.326644897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02618521016654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05670935} λ = 0.05670935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02618521016654))-π/2
    2×atan(2.79040071276318)-π/2
    2×1.22668318286091-π/2
    2.45336636572182-1.57079632675     		φ = 0.88257004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05670935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.249206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88257004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.567538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66719 KachelY 44129 0.05670935 0.88257004 3.249206 50.567538
    Oben rechts KachelX + 1 66720 KachelY 44129 0.05675729 0.88257004 3.251953 50.567538
    Unten links KachelX 66719 KachelY + 1 44130 0.05670935 0.88253959 3.249206 50.565794
    Unten rechts KachelX + 1 66720 KachelY + 1 44130 0.05675729 0.88253959 3.251953 50.565794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88257004-0.88253959) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dl = 193.996949999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88257004-0.88253959) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dr = 193.996949999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05670935-0.05675729) × cos(0.88257004) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.635168212406715 × 6371000     		do = 193.996721298811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05670935-0.05675729) × cos(0.88253959) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.635191730895541 × 6371000     		du = 194.003904450665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88257004)-sin(0.88253959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635168212406715-0.635191730895541)×R²
    abs(0.05675729-0.05670935)×2.35184888260909e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35184888260909e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35184888260909e-05×40589641000000     		ar = 37635.4689996073m²