Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66714 / 64392
↖ ↑ ↗
← N  3.140516°
E  3.235474°		 ← 304.90 m → N  3.140516°
E  3.238220°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.137774°
E  3.235474°		 ← 304.90 m →
92 990 m²		 N  3.137774°
E  3.238220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508991241455078 y=0.491275787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508991241455078 × 217)
    floor (0.508991241455078 × 131072)
    floor (66714.5)     		tx = 66714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491275787353516 × 217)
    floor (0.491275787353516 × 131072)
    floor (64392.5)     		ty = 64392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66714 / 64392 ti = "17/66714/64392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66714/64392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66714 ÷ 217
    66714 ÷ 131072     		x = 0.508987426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64392 ÷ 217
    64392 ÷ 131072     		y = 0.49127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508987426757812 × 2 - 1) × π
    0.017974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05646967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49127197265625 × 2 - 1) × π
    0.0174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05646967} λ = 0.05646967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0548398131653442))-π/2
    2×atan(1.05637138433334)-π/2
    2×0.812804336509872-π/2
    1.62560867301974-1.57079632675     		φ = 0.05481235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05646967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.235474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05481235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.140516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66714 KachelY 64392 0.05646967 0.05481235 3.235474 3.140516
    Oben rechts KachelX + 1 66715 KachelY 64392 0.05651760 0.05481235 3.238220 3.140516
    Unten links KachelX 66714 KachelY + 1 64393 0.05646967 0.05476448 3.235474 3.137774
    Unten rechts KachelX + 1 66715 KachelY + 1 64393 0.05651760 0.05476448 3.238220 3.137774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05481235-0.05476448) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05481235-0.05476448) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05646967-0.05651760) × cos(0.05481235) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998498179205308 × 6371000     		do = 304.903430953447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05646967-0.05651760) × cos(0.05476448) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998500800614796 × 6371000     		du = 304.90423143237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05481235)-sin(0.05476448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998498179205308-0.998500800614796)×R²
    abs(0.05651760-0.05646967)×2.62140948814604e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.62140948814604e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.62140948814604e-06×40589641000000     		ar = 92989.500327098m²