Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66713 / 64391
↖ ↑ ↗
← N  3.143258°
E  3.232727°		 ← 304.97 m → N  3.143258°
E  3.235474°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.140516°
E  3.232727°		 ← 304.97 m →
92 989 m²		 N  3.140516°
E  3.235474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508983612060547 y=0.491268157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508983612060547 × 217)
    floor (0.508983612060547 × 131072)
    floor (66713.5)     		tx = 66713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491268157958984 × 217)
    floor (0.491268157958984 × 131072)
    floor (64391.5)     		ty = 64391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66713 / 64391 ti = "17/66713/64391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66713/64391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66713 ÷ 217
    66713 ÷ 131072     		x = 0.508979797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64391 ÷ 217
    64391 ÷ 131072     		y = 0.491264343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508979797363281 × 2 - 1) × π
    0.0179595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05642173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491264343261719 × 2 - 1) × π
    0.0174713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0548877500649643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05642173} λ = 0.05642173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0548877500649643))-π/2
    2×atan(1.05642202471612)-π/2
    2×0.812828268931935-π/2
    1.62565653786387-1.57079632675     		φ = 0.05486021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05642173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.232727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05486021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.143258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66713 KachelY 64391 0.05642173 0.05486021 3.232727 3.143258
    Oben rechts KachelX + 1 66714 KachelY 64391 0.05646967 0.05486021 3.235474 3.143258
    Unten links KachelX 66713 KachelY + 1 64392 0.05642173 0.05481235 3.232727 3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 66714 KachelY + 1 64392 0.05646967 0.05481235 3.235474 3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05486021-0.05481235) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05486021-0.05481235) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05642173-0.05646967) × cos(0.05486021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998495556056052 × 6371000     		do = 304.966244095108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05642173-0.05646967) × cos(0.05481235) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 304.96704527241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05486021)-sin(0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998495556056052-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05646967-0.05642173)×2.62314925658647e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.62314925658647e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.62314925658647e-06×40589641000000     		ar = 92989.2277461352m²