Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66712 / 66519
↖ ↑ ↗
← S  2.698891°
E  3.229980°		 ← 305.09 m → S  2.698891°
E  3.232727°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.701635°
E  3.229980°		 ← 305.09 m →
93 084 m²		 S  2.701635°
E  3.232727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508975982666016 y=0.507503509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508975982666016 × 217)
    floor (0.508975982666016 × 131072)
    floor (66712.5)     		tx = 66712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507503509521484 × 217)
    floor (0.507503509521484 × 131072)
    floor (66519.5)     		ty = 66519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66712 / 66519 ti = "17/66712/66519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66712/66519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66712 ÷ 217
    66712 ÷ 131072     		x = 0.50897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66519 ÷ 217
    66519 ÷ 131072     		y = 0.507499694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50897216796875 × 2 - 1) × π
    0.0179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05637379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507499694824219 × 2 - 1) × π
    -0.0149993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0471219723265152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05637379} λ = 0.05637379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0471219723265152))-π/2
    2×atan(0.953971032427597)-π/2
    2×0.761845891847811-π/2
    1.52369178369562-1.57079632675     		φ = -0.04710454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05637379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.229980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04710454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.698891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66712 KachelY 66519 0.05637379 -0.04710454 3.229980 -2.698891
    Oben rechts KachelX + 1 66713 KachelY 66519 0.05642173 -0.04710454 3.232727 -2.698891
    Unten links KachelX 66712 KachelY + 1 66520 0.05637379 -0.04715243 3.229980 -2.701635
    Unten rechts KachelX + 1 66713 KachelY + 1 66520 0.05642173 -0.04715243 3.232727 -2.701635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04710454--0.04715243) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04710454--0.04715243) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05637379-0.05642173) × cos(-0.04710454) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998890786275551 × 6371000     		do = 305.086957577413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05637379-0.05642173) × cos(-0.04715243) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998888530127808 × 6371000     		du = 305.086268491819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04710454)-sin(-0.04715243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998890786275551-0.998888530127808)×R²
    abs(0.05642173-0.05637379)×2.25614774385097e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.25614774385097e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.25614774385097e-06×40589641000000     		ar = 93084.1192274031m²