Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66711 / 64391
↖ ↑ ↗
← N  3.143258°
E  3.227234°		 ← 304.90 m → N  3.143258°
E  3.229980°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.140516°
E  3.227234°		 ← 304.90 m →
92 970 m²		 N  3.140516°
E  3.229980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508968353271484 y=0.491268157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508968353271484 × 217)
    floor (0.508968353271484 × 131072)
    floor (66711.5)     		tx = 66711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491268157958984 × 217)
    floor (0.491268157958984 × 131072)
    floor (64391.5)     		ty = 64391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66711 / 64391 ti = "17/66711/64391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66711/64391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66711 ÷ 217
    66711 ÷ 131072     		x = 0.508964538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64391 ÷ 217
    64391 ÷ 131072     		y = 0.491264343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508964538574219 × 2 - 1) × π
    0.0179290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05632586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491264343261719 × 2 - 1) × π
    0.0174713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0548877500649643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05632586} λ = 0.05632586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0548877500649643))-π/2
    2×atan(1.05642202471612)-π/2
    2×0.812828268931935-π/2
    1.62565653786387-1.57079632675     		φ = 0.05486021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05632586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.227234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05486021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.143258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66711 KachelY 64391 0.05632586 0.05486021 3.227234 3.143258
    Oben rechts KachelX + 1 66712 KachelY 64391 0.05637379 0.05486021 3.229980 3.143258
    Unten links KachelX 66711 KachelY + 1 64392 0.05632586 0.05481235 3.227234 3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 66712 KachelY + 1 64392 0.05637379 0.05481235 3.229980 3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05486021-0.05481235) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05486021-0.05481235) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05632586-0.05637379) × cos(0.05486021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998495556056052 × 6371000     		do = 304.902629943265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05632586-0.05637379) × cos(0.05481235) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 304.903430953447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05486021)-sin(0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998495556056052-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05637379-0.05632586)×2.62314925658647e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.62314925658647e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.62314925658647e-06×40589641000000     		ar = 92969.8307441125m²