Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66710 / 64390
↖ ↑ ↗
← N  3.146001°
E  3.224487°		 ← 304.97 m → N  3.146001°
E  3.227234°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.143258°
E  3.224487°		 ← 304.97 m →
93 008 m²		 N  3.143258°
E  3.227234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508960723876953 y=0.491260528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508960723876953 × 217)
    floor (0.508960723876953 × 131072)
    floor (66710.5)     		tx = 66710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491260528564453 × 217)
    floor (0.491260528564453 × 131072)
    floor (64390.5)     		ty = 64390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66710 / 64390 ti = "17/66710/64390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66710/64390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66710 ÷ 217
    66710 ÷ 131072     		x = 0.508956909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64390 ÷ 217
    64390 ÷ 131072     		y = 0.491256713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508956909179688 × 2 - 1) × π
    0.017913818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05627792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491256713867188 × 2 - 1) × π
    0.017486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0549356869645844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05627792} λ = 0.05627792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0549356869645844))-π/2
    2×atan(1.05647266752649)-π/2
    2×0.812852201291093-π/2
    1.62570440258219-1.57079632675     		φ = 0.05490808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05627792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.224487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05490808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.146001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66710 KachelY 64390 0.05627792 0.05490808 3.224487 3.146001
    Oben rechts KachelX + 1 66711 KachelY 64390 0.05632586 0.05490808 3.227234 3.146001
    Unten links KachelX 66710 KachelY + 1 64391 0.05627792 0.05486021 3.224487 3.143258
    Unten rechts KachelX + 1 66711 KachelY + 1 64391 0.05632586 0.05486021 3.227234 3.143258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05490808-0.05486021) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05490808-0.05486021) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05627792-0.05632586) × cos(0.05490808) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998492930070857 × 6371000     		do = 304.965442051636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05627792-0.05632586) × cos(0.05486021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998495556056052 × 6371000     		du = 304.966244095108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05490808)-sin(0.05486021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998492930070857-0.998495556056052)×R²
    abs(0.05632586-0.05627792)×2.62598519495949e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.62598519495949e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.62598519495949e-06×40589641000000     		ar = 93008.4126961307m²