Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66705 / 44272
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
E  3.210755°		 ← 194.98 m → N 50.317408°
E  3.213501°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.315654°
E  3.210755°		 ← 194.99 m →
38 026 m²		 N 50.315654°
E  3.213501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508922576904297 y=0.337772369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508922576904297 × 217)
    floor (0.508922576904297 × 131072)
    floor (66705.5)     		tx = 66705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337772369384766 × 217)
    floor (0.337772369384766 × 131072)
    floor (44272.5)     		ty = 44272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66705 / 44272 ti = "17/66705/44272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66705/44272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66705 ÷ 217
    66705 ÷ 131072     		x = 0.508918762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44272 ÷ 217
    44272 ÷ 131072     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508918762207031 × 2 - 1) × π
    0.0178375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05603824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05603824} λ = 0.05603824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05603824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.210755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66705 KachelY 44272 0.05603824 0.87820444 3.210755 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 66706 KachelY 44272 0.05608617 0.87820444 3.213501 50.317408
    Unten links KachelX 66705 KachelY + 1 44273 0.05603824 0.87817383 3.210755 50.315654
    Unten rechts KachelX + 1 66706 KachelY + 1 44273 0.05608617 0.87817383 3.213501 50.315654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87817383) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dl = 195.01630999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87817383) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dr = 195.01630999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05603824-0.05608617) × cos(0.87820444) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 194.984045871349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05603824-0.05608617) × cos(0.87817383) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.638557581218365 × 6371000     		du = 194.991239272708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87817383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.638557581218365)×R²
    abs(0.05608617-0.05603824)×2.35569607631714e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.35569607631714e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.35569607631714e-05×40589641000000     		ar = 38025.7705527831m²