Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66702 / 44274
↖ ↑ ↗
← N 50.313900°
E  3.202514°		 ← 195.04 m → N 50.313900°
E  3.205261°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.312146°
E  3.202514°		 ← 195.05 m →
38 037 m²		 N 50.312146°
E  3.205261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508899688720703 y=0.337787628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508899688720703 × 217)
    floor (0.508899688720703 × 131072)
    floor (66702.5)     		tx = 66702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337787628173828 × 217)
    floor (0.337787628173828 × 131072)
    floor (44274.5)     		ty = 44274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66702 / 44274 ti = "17/66702/44274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66702/44274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66702 ÷ 217
    66702 ÷ 131072     		x = 0.508895874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44274 ÷ 217
    44274 ÷ 131072     		y = 0.337783813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508895874023438 × 2 - 1) × π
    0.017791748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05589442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337783813476562 × 2 - 1) × π
    0.324432373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01923435972163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05589442} λ = 0.05589442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01923435972163))-π/2
    2×atan(2.77107230697622)-π/2
    2×1.22446977423502-π/2
    2.44893954847005-1.57079632675     		φ = 0.87814322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05589442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.202514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87814322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.313900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66702 KachelY 44274 0.05589442 0.87814322 3.202514 50.313900
    Oben rechts KachelX + 1 66703 KachelY 44274 0.05594236 0.87814322 3.205261 50.313900
    Unten links KachelX 66702 KachelY + 1 44275 0.05589442 0.87811261 3.202514 50.312146
    Unten rechts KachelX + 1 66703 KachelY + 1 44275 0.05594236 0.87811261 3.205261 50.312146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87814322-0.87811261) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87814322-0.87811261) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05589442-0.05594236) × cos(0.87814322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.638581137580818 × 6371000     		do = 195.039116495648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05589442-0.05594236) × cos(0.87811261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.638604693344938 × 6371000     		du = 195.046311032336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87814322)-sin(0.87811261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638581137580818-0.638604693344938)×R²
    abs(0.05594236-0.05589442)×2.35557641198314e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35557641198314e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35557641198314e-05×40589641000000     		ar = 38036.5103336925m²