Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66698 / 64377
↖ ↑ ↗
← N  3.181652°
E  3.191528°		 ← 304.89 m → N  3.181652°
E  3.194275°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.178910°
E  3.191528°		 ← 304.89 m →
92 986 m²		 N  3.178910°
E  3.194275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508869171142578 y=0.491161346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508869171142578 × 217)
    floor (0.508869171142578 × 131072)
    floor (66698.5)     		tx = 66698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491161346435547 × 217)
    floor (0.491161346435547 × 131072)
    floor (64377.5)     		ty = 64377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66698 / 64377 ti = "17/66698/64377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66698/64377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66698 ÷ 217
    66698 ÷ 131072     		x = 0.508865356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64377 ÷ 217
    64377 ÷ 131072     		y = 0.491157531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508865356445312 × 2 - 1) × π
    0.017730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05570268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491157531738281 × 2 - 1) × π
    0.0176849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0555588666596451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05570268} λ = 0.05570268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0555588666596451))-π/2
    2×atan(1.05713124502603)-π/2
    2×0.813163316210771-π/2
    1.62632663242154-1.57079632675     		φ = 0.05553031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05570268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.191528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05553031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.181652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66698 KachelY 64377 0.05570268 0.05553031 3.191528 3.181652
    Oben rechts KachelX + 1 66699 KachelY 64377 0.05575061 0.05553031 3.194275 3.181652
    Unten links KachelX 66698 KachelY + 1 64378 0.05570268 0.05548244 3.191528 3.178910
    Unten rechts KachelX + 1 66699 KachelY + 1 64378 0.05575061 0.05548244 3.194275 3.178910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05553031-0.05548244) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05553031-0.05548244) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05570268-0.05575061) × cos(0.05553031) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998458588490076 × 6371000     		do = 304.891341452274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05570268-0.05575061) × cos(0.05548244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99846124421606 × 6371000     		du = 304.892152410152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05553031)-sin(0.05548244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998458588490076-0.99846124421606)×R²
    abs(0.05575061-0.05570268)×2.65572598412422e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.65572598412422e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.65572598412422e-06×40589641000000     		ar = 92985.8148717265m²