Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66698 / 64074
↖ ↑ ↗
← N  4.012220°
E  3.191528°		 ← 304.61 m → N  4.012220°
E  3.194275°		 →
↑
304.66 m
↓
↑
304.66 m
↓
N  4.009480°
E  3.191528°		 ← 304.61 m →
92 804 m²		 N  4.009480°
E  3.194275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508869171142578 y=0.488849639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508869171142578 × 217)
    floor (0.508869171142578 × 131072)
    floor (66698.5)     		tx = 66698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488849639892578 × 217)
    floor (0.488849639892578 × 131072)
    floor (64074.5)     		ty = 64074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66698 / 64074 ti = "17/66698/64074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66698/64074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66698 ÷ 217
    66698 ÷ 131072     		x = 0.508865356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64074 ÷ 217
    64074 ÷ 131072     		y = 0.488845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508865356445312 × 2 - 1) × π
    0.017730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05570268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488845825195312 × 2 - 1) × π
    0.022308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0700837472445221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05570268} λ = 0.05570268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0700837472445221))-π/2
    2×atan(1.0725980046203)-π/2
    2×0.820411386147576-π/2
    1.64082277229515-1.57079632675     		φ = 0.07002645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05570268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.191528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07002645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.012220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66698 KachelY 64074 0.05570268 0.07002645 3.191528 4.012220
    Oben rechts KachelX + 1 66699 KachelY 64074 0.05575061 0.07002645 3.194275 4.012220
    Unten links KachelX 66698 KachelY + 1 64075 0.05570268 0.06997863 3.191528 4.009480
    Unten rechts KachelX + 1 66699 KachelY + 1 64075 0.05575061 0.06997863 3.194275 4.009480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07002645-0.06997863) × R
    4.7820000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.661220000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07002645-0.06997863) × R
    4.7820000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.661220000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05570268-0.05575061) × cos(0.07002645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997549149916023 × 6371000     		do = 304.613633443141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05570268-0.05575061) × cos(0.06997863) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997552494704148 × 6371000     		du = 304.614654814433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07002645)-sin(0.06997863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997549149916023-0.997552494704148)×R²
    abs(0.05575061-0.05570268)×3.34478812469285e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.34478812469285e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.34478812469285e-06×40589641000000     		ar = 92804.1167972134m²