Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66695 / 64472
↖ ↑ ↗
← N  2.921097°
E  3.183289°		 ← 304.97 m → N  2.921097°
E  3.186035°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.918354°
E  3.183289°		 ← 304.97 m →
93 008 m²		 N  2.918354°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508846282958984 y=0.491886138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508846282958984 × 217)
    floor (0.508846282958984 × 131072)
    floor (66695.5)     		tx = 66695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491886138916016 × 217)
    floor (0.491886138916016 × 131072)
    floor (64472.5)     		ty = 64472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66695 / 64472 ti = "17/66695/64472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66695/64472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66695 ÷ 217
    66695 ÷ 131072     		x = 0.508842468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64472 ÷ 217
    64472 ÷ 131072     		y = 0.49188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508842468261719 × 2 - 1) × π
    0.0176849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05555887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49188232421875 × 2 - 1) × π
    0.0162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05555887} λ = 0.05555887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0510048611957397))-π/2
    2×atan(1.0523280088432)-π/2
    2×0.810889543770047-π/2
    1.62177908754009-1.57079632675     		φ = 0.05098276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05555887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.183289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05098276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.921097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66695 KachelY 64472 0.05555887 0.05098276 3.183289 2.921097
    Oben rechts KachelX + 1 66696 KachelY 64472 0.05560680 0.05098276 3.186035 2.921097
    Unten links KachelX 66695 KachelY + 1 64473 0.05555887 0.05093489 3.183289 2.918354
    Unten rechts KachelX + 1 66696 KachelY + 1 64473 0.05560680 0.05093489 3.186035 2.918354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05098276-0.05093489) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05098276-0.05093489) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05555887-0.05560680) × cos(0.05098276) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.99870066056942 × 6371000     		do = 304.965261073785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05555887-0.05560680) × cos(0.05093489) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998703098912737 × 6371000     		du = 304.96600565125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05098276)-sin(0.05093489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99870066056942-0.998703098912737)×R²
    abs(0.05560680-0.05555887)×2.43834331692394e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.43834331692394e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.43834331692394e-06×40589641000000     		ar = 93008.3487385748m²