Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66695 / 44280
↖ ↑ ↗
← N 50.303376°
E  3.183289°		 ← 195.04 m → N 50.303376°
E  3.186035°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
N 50.301621°
E  3.183289°		 ← 195.05 m →
38 049 m²		 N 50.301621°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508846282958984 y=0.337833404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508846282958984 × 217)
    floor (0.508846282958984 × 131072)
    floor (66695.5)     		tx = 66695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337833404541016 × 217)
    floor (0.337833404541016 × 131072)
    floor (44280.5)     		ty = 44280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66695 / 44280 ti = "17/66695/44280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66695/44280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66695 ÷ 217
    66695 ÷ 131072     		x = 0.508842468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44280 ÷ 217
    44280 ÷ 131072     		y = 0.33782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508842468261719 × 2 - 1) × π
    0.0176849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05555887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33782958984375 × 2 - 1) × π
    0.3243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01894673832391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05555887} λ = 0.05555887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01894673832391))-π/2
    2×atan(2.77027540189507)-π/2
    2×1.22437792927193-π/2
    2.44875585854385-1.57079632675     		φ = 0.87795953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05555887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.183289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87795953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.303376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66695 KachelY 44280 0.05555887 0.87795953 3.183289 50.303376
    Oben rechts KachelX + 1 66696 KachelY 44280 0.05560680 0.87795953 3.186035 50.303376
    Unten links KachelX 66695 KachelY + 1 44281 0.05555887 0.87792891 3.183289 50.301621
    Unten rechts KachelX + 1 66696 KachelY + 1 44281 0.05560680 0.87792891 3.186035 50.301621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87795953-0.87792891) × R
    3.06200000000922e-05 × 6371000     		dl = 195.080020000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87795953-0.87792891) × R
    3.06200000000922e-05 × 6371000     		dr = 195.080020000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05555887-0.05560680) × cos(0.87795953) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.63872248627289 × 6371000     		do = 195.041595014915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05555887-0.05560680) × cos(0.87792891) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.63874604614014 × 6371000     		du = 195.048789303805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87795953)-sin(0.87792891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63872248627289-0.63874604614014)×R²
    abs(0.05560680-0.05555887)×2.35598672500004e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.35598672500004e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.35598672500004e-05×40589641000000     		ar = 38049.4199904516m²