Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66692 / 67716
↖ ↑ ↗
← S  5.976680°
E  3.175049°		 ← 303.70 m → S  5.976680°
E  3.177795°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  5.979412°
E  3.175049°		 ← 303.70 m →
92 255 m²		 S  5.979412°
E  3.177795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508823394775391 y=0.516635894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508823394775391 × 217)
    floor (0.508823394775391 × 131072)
    floor (66692.5)     		tx = 66692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516635894775391 × 217)
    floor (0.516635894775391 × 131072)
    floor (67716.5)     		ty = 67716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66692 / 67716 ti = "17/66692/67716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66692/67716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66692 ÷ 217
    66692 ÷ 131072     		x = 0.508819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67716 ÷ 217
    67716 ÷ 131072     		y = 0.516632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508819580078125 × 2 - 1) × π
    0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.03326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.104502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05541506} λ = 0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104502441171722))-π/2
    2×atan(0.900772598463603)-π/2
    2×0.73324178782266-π/2
    1.46648357564532-1.57079632675     		φ = -0.10431275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10431275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.976680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66692 KachelY 67716 0.05541506 -0.10431275 3.175049 -5.976680
    Oben rechts KachelX + 1 66693 KachelY 67716 0.05546299 -0.10431275 3.177795 -5.976680
    Unten links KachelX 66692 KachelY + 1 67717 0.05541506 -0.10436043 3.175049 -5.979412
    Unten rechts KachelX + 1 66693 KachelY + 1 67717 0.05546299 -0.10436043 3.177795 -5.979412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10431275--0.10436043) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dl = 303.769280000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10431275--0.10436043) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dr = 303.769280000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05541506-0.05546299) × cos(-0.10431275) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.994564356613949 × 6371000     		do = 303.702190901245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05541506-0.05546299) × cos(-0.10436043) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.994559390866418 × 6371000     		du = 303.700674550499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10431275)-sin(-0.10436043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994564356613949-0.994559390866418)×R²
    abs(0.05546299-0.05541506)×4.96574753094947e-06×R²
    4.79299999999946e-05×4.96574753094947e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×4.96574753094947e-06×40589641000000     		ar = 92255.1655716161m²