Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66692 / 64451
↖ ↑ ↗
← N  2.978699°
E  3.175049°		 ← 304.95 m → N  2.978699°
E  3.177795°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.975956°
E  3.175049°		 ← 304.95 m →
93 004 m²		 N  2.975956°
E  3.177795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508823394775391 y=0.491725921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508823394775391 × 217)
    floor (0.508823394775391 × 131072)
    floor (66692.5)     		tx = 66692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491725921630859 × 217)
    floor (0.491725921630859 × 131072)
    floor (64451.5)     		ty = 64451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66692 / 64451 ti = "17/66692/64451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66692/64451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66692 ÷ 217
    66692 ÷ 131072     		x = 0.508819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64451 ÷ 217
    64451 ÷ 131072     		y = 0.491722106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508819580078125 × 2 - 1) × π
    0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491722106933594 × 2 - 1) × π
    0.0165557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0520115360877609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05541506} λ = 0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0520115360877609))-π/2
    2×atan(1.05338789441847)-π/2
    2×0.811392214231352-π/2
    1.6227844284627-1.57079632675     		φ = 0.05198810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05198810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.978699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66692 KachelY 64451 0.05541506 0.05198810 3.175049 2.978699
    Oben rechts KachelX + 1 66693 KachelY 64451 0.05546299 0.05198810 3.177795 2.978699
    Unten links KachelX 66692 KachelY + 1 64452 0.05541506 0.05194023 3.175049 2.975956
    Unten rechts KachelX + 1 66693 KachelY + 1 64452 0.05546299 0.05194023 3.177795 2.975956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05198810-0.05194023) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05198810-0.05194023) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05541506-0.05546299) × cos(0.05198810) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998648923073665 × 6371000     		do = 304.949462407054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05541506-0.05546299) × cos(0.05194023) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998651409478894 × 6371000     		du = 304.950221660802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05198810)-sin(0.05194023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998648923073665-0.998651409478894)×R²
    abs(0.05546299-0.05541506)×2.48640522959587e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.48640522959587e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.48640522959587e-06×40589641000000     		ar = 93003.5327028194m²