Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66691 / 64454
↖ ↑ ↗
← N  2.970470°
E  3.172302°		 ← 305.02 m → N  2.970470°
E  3.175049°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.967727°
E  3.172302°		 ← 305.02 m →
93 024 m²		 N  2.967727°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508815765380859 y=0.491748809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508815765380859 × 217)
    floor (0.508815765380859 × 131072)
    floor (66691.5)     		tx = 66691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491748809814453 × 217)
    floor (0.491748809814453 × 131072)
    floor (64454.5)     		ty = 64454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66691 / 64454 ti = "17/66691/64454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66691/64454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66691 ÷ 217
    66691 ÷ 131072     		x = 0.508811950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64454 ÷ 217
    64454 ÷ 131072     		y = 0.491744995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508811950683594 × 2 - 1) × π
    0.0176239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05536712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491744995117188 × 2 - 1) × π
    0.016510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0518677253889008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05536712} λ = 0.05536712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0518677253889008))-π/2
    2×atan(1.05323641686151)-π/2
    2×0.811320405763518-π/2
    1.62264081152704-1.57079632675     		φ = 0.05184448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05536712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.172302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05184448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.970470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66691 KachelY 64454 0.05536712 0.05184448 3.172302 2.970470
    Oben rechts KachelX + 1 66692 KachelY 64454 0.05541506 0.05184448 3.175049 2.970470
    Unten links KachelX 66691 KachelY + 1 64455 0.05536712 0.05179661 3.172302 2.967727
    Unten rechts KachelX + 1 66692 KachelY + 1 64455 0.05541506 0.05179661 3.175049 2.967727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05184448-0.05179661) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05184448-0.05179661) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(0.05184448) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998656375942221 × 6371000     		do = 305.015362627892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(0.05179661) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998658855481616 × 6371000     		du = 305.016119943046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05184448)-sin(0.05179661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998656375942221-0.998658855481616)×R²
    abs(0.05541506-0.05536712)×2.47953939480627e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.47953939480627e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.47953939480627e-06×40589641000000     		ar = 93023.6306413839m²