Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66691 / 64452
↖ ↑ ↗
← N  2.975956°
E  3.172302°		 ← 305.01 m → N  2.975956°
E  3.175049°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.973213°
E  3.172302°		 ← 305.01 m →
93 023 m²		 N  2.973213°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508815765380859 y=0.491733551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508815765380859 × 217)
    floor (0.508815765380859 × 131072)
    floor (66691.5)     		tx = 66691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491733551025391 × 217)
    floor (0.491733551025391 × 131072)
    floor (64452.5)     		ty = 64452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66691 / 64452 ti = "17/66691/64452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66691/64452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66691 ÷ 217
    66691 ÷ 131072     		x = 0.508811950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64452 ÷ 217
    64452 ÷ 131072     		y = 0.491729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508811950683594 × 2 - 1) × π
    0.0176239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05536712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491729736328125 × 2 - 1) × π
    0.01654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0519635991881409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05536712} λ = 0.05536712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0519635991881409))-π/2
    2×atan(1.05333739947901)-π/2
    2×0.811368278134959-π/2
    1.62273655626992-1.57079632675     		φ = 0.05194023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05536712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.172302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05194023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.975956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66691 KachelY 64452 0.05536712 0.05194023 3.172302 2.975956
    Oben rechts KachelX + 1 66692 KachelY 64452 0.05541506 0.05194023 3.175049 2.975956
    Unten links KachelX 66691 KachelY + 1 64453 0.05536712 0.05189236 3.172302 2.973213
    Unten rechts KachelX + 1 66692 KachelY + 1 64453 0.05541506 0.05189236 3.175049 2.973213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05194023-0.05189236) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05194023-0.05189236) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(0.05194023) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998651409478894 × 6371000     		do = 305.013845742155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(0.05189236) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998653893595677 × 6371000     		du = 305.014604455362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05194023)-sin(0.05189236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998651409478894-0.998653893595677)×R²
    abs(0.05541506-0.05536712)×2.48411678305249e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.48411678305249e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.48411678305249e-06×40589641000000     		ar = 93023.1682351154m²