Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66690 / 64455
↖ ↑ ↗
← N  2.967727°
E  3.169556°		 ← 305.02 m → N  2.967727°
E  3.172302°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.964984°
E  3.169556°		 ← 305.02 m →
93 024 m²		 N  2.964984°
E  3.172302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508808135986328 y=0.491756439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508808135986328 × 217)
    floor (0.508808135986328 × 131072)
    floor (66690.5)     		tx = 66690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491756439208984 × 217)
    floor (0.491756439208984 × 131072)
    floor (64455.5)     		ty = 64455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66690 / 64455 ti = "17/66690/64455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66690/64455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66690 ÷ 217
    66690 ÷ 131072     		x = 0.508804321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64455 ÷ 217
    64455 ÷ 131072     		y = 0.491752624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508804321289062 × 2 - 1) × π
    0.017608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05531918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491752624511719 × 2 - 1) × π
    0.0164947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0518197884892807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05531918} λ = 0.05531918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0518197884892807))-π/2
    2×atan(1.05318592918324)-π/2
    2×0.811296469488578-π/2
    1.62259293897716-1.57079632675     		φ = 0.05179661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05531918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.169556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05179661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.967727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66690 KachelY 64455 0.05531918 0.05179661 3.169556 2.967727
    Oben rechts KachelX + 1 66691 KachelY 64455 0.05536712 0.05179661 3.172302 2.967727
    Unten links KachelX 66690 KachelY + 1 64456 0.05531918 0.05174874 3.169556 2.964984
    Unten rechts KachelX + 1 66691 KachelY + 1 64456 0.05536712 0.05174874 3.172302 2.964984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05179661-0.05174874) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05179661-0.05174874) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05531918-0.05536712) × cos(0.05179661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998658855481616 × 6371000     		do = 305.016119943002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05531918-0.05536712) × cos(0.05174874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998661332732547 × 6371000     		du = 305.016876559201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05179661)-sin(0.05174874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998658855481616-0.998661332732547)×R²
    abs(0.05536712-0.05531918)×2.47725093116546e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.47725093116546e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.47725093116546e-06×40589641000000     		ar = 93023.8615005774m²