Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66685 / 64461
↖ ↑ ↗
← N  2.951270°
E  3.155823°		 ← 304.96 m → N  2.951270°
E  3.158569°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.948527°
E  3.155823°		 ← 304.96 m →
93 006 m²		 N  2.948527°
E  3.158569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508769989013672 y=0.491802215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508769989013672 × 217)
    floor (0.508769989013672 × 131072)
    floor (66685.5)     		tx = 66685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491802215576172 × 217)
    floor (0.491802215576172 × 131072)
    floor (64461.5)     		ty = 64461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66685 / 64461 ti = "17/66685/64461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66685/64461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66685 ÷ 217
    66685 ÷ 131072     		x = 0.508766174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64461 ÷ 217
    64461 ÷ 131072     		y = 0.491798400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508766174316406 × 2 - 1) × π
    0.0175323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05507950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491798400878906 × 2 - 1) × π
    0.0164031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0515321670915604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05507950} λ = 0.05507950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0515321670915604))-π/2
    2×atan(1.05288305393302)-π/2
    2×0.811152850593317-π/2
    1.62230570118663-1.57079632675     		φ = 0.05150937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05507950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.155823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05150937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.951270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66685 KachelY 64461 0.05507950 0.05150937 3.155823 2.951270
    Oben rechts KachelX + 1 66686 KachelY 64461 0.05512743 0.05150937 3.158569 2.951270
    Unten links KachelX 66685 KachelY + 1 64462 0.05507950 0.05146150 3.155823 2.948527
    Unten rechts KachelX + 1 66686 KachelY + 1 64462 0.05512743 0.05146150 3.158569 2.948527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05150937-0.05146150) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05150937-0.05146150) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05507950-0.05512743) × cos(0.05150937) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998673685689782 × 6371000     		do = 304.95702396978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05507950-0.05512743) × cos(0.05146150) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998676149208857 × 6371000     		du = 304.957776234965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05150937)-sin(0.05146150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998673685689782-0.998676149208857)×R²
    abs(0.05512743-0.05507950)×2.46351907440268e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.46351907440268e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.46351907440268e-06×40589641000000     		ar = 93005.8377607766m²